Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
a)
Ta có \(A=7.5^{2n}+12.6^n=7.25^n+12.6^n\)
Vì \(25\equiv 6\pmod {19}\Rightarrow 7.25^n\equiv 7.6^n\pmod {19}\)
Do đó \(A\equiv 7.6^n+12.6^n\equiv 19.6^n\equiv 0\pmod {19}\)
Ta có đpcm.
b) Đặt biểu thức là $B$ .
Dễ thấy \(1924,1920\vdots 4\Rightarrow B\vdots 4(1)\)
Có \(2003\equiv -7\pmod {30}\Rightarrow 2003^{2004^n}\equiv (-7)^{2004^n}\equiv 7^{2004^n}\pmod {30}\)
Mặt khác \(7^4\equiv 1\pmod {30}\) , \(2004^n\vdots 4\) nên \(7^{2004^n}\equiv 1\pmod {30}\)
Từ hai điều trên suy ra \(2003^{2004^n}\equiv 1\pmod {30}\) . Đặt \(2003^{2004^n}=30k+1\)
Khi đó \(1924^{2003^{2004^n}}+1920=1924^{30k+1}+1924\)
Vì \(UCLN(1924,31)=1\) nên áp dụng định lý Fermat nhỏ:
\(1924^{30}\equiv 1\pmod {31}\Rightarrow 1924^{30k}\equiv 1\pmod{31}\)
\(\Rightarrow 1924^{30k+1}\equiv 1924\pmod {31}\Rightarrow 1924^{30k+1}+1920\equiv 1924+1920\equiv 3844\equiv 0\pmod{31}\)
Do đó \(B\vdots 31\) \((2)\)
Từ \((1),(2)\) và \((31,4)=1\Rightarrow B\vdots (31.4=124)\)
c)
\(5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}=5^{2n+1}+2^{n+1}(2^3+1)\)
\(=5^{2n+1}+18.2^n=5.25^n+18.2^n\)
\(\equiv 5.2^{n}+18.2^n\pmod {23}\)
\(\Leftrightarrow 5^{2n+1}+2^{n+4}+2^{n+1}\equiv 23.2^n\equiv 0\pmod {23}\)
Ta có đpcm.
\(7.5^{2n}+12.6^n=7.5^{2n}+19.6^n-7.6^n\)
\(=7\left(5^{2n}-6^n\right)+19.6^n=7.\left(25^n-6^n\right)+19.6^n\)
\(=7.19.A\left(x\right)+19.6^n\)⋮ 19
Ta có
\(8^2=64\equiv5\left(mod59\right)\Rightarrow\)\(8^{2n+1}\equiv5^n.8\left(mod59\right)\left(1\right)\)
\(5\equiv5\left(mod59\right)\Rightarrow\)\(5^{n+2}\equiv5^n.5^2\left(mod59\right)\left(2\right)\)
\(26\equiv26\left(mod59\right)\Rightarrow\)\(26.5^n\equiv26.5^n\left(mod59\right)\left(3\right)\)
Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\equiv5^n.5^2+26.5^n+5^n.8\left(mod59\right)\)
\(\Rightarrow5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\equiv5^n.\left(5^2+26+8\right)\left(mod59\right)\)
\(\Rightarrow5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\equiv5^n.59\left(mod59\right)\equiv0\left(mod59\right)\)
Vậy \(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}⋮59\left(đpcm\right)\)
Chúc Hok tốt !!!!!!!!!!!!!!!!!
nếu \(n=0\) thì ta thấy bài toán đúng
giả sử \(n=k\) thì ta có : \(5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}⋮59\)
khi đó nếu \(n=k+1\) thì ta có :
\(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}=5^{k+3}+26.5^{k+1}+8^{2k+3}\)
\(=5.5^{k+2}+5.26.5^k+8^2.8^{2k+1}=5.5^{k+2}+5.26.5^k+5.8^{2k+1}+59.8^{2k+1}\)
\(=5\left(5^{k+2}+26.5^k+8^{2k+1}\right)+59.8^{2k+1}⋮59\)
\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)
Lời giải:
Sử dụng quy nạp:
Với \(n=1\Rightarrow \frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{3}}\) (đúng)
Với \(n=2\Rightarrow \frac{1.3}{2.4}< \frac{1}{\sqrt{5}}\) (đúng)
.............
Giả sử bài toán đúng với \(n=k\), tức là :
\(\frac{1.3.5...(2k-1)}{2.4.6...2k}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}\) (*)
Ta cần chỉ ra nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay :
\(\frac{1.3.5....(2k-1)(2k+1)}{2.4.6....(2k)(2k+2)}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}\). Thật vậy, theo (*) ta có:
\(\frac{1.3.5....(2k-1)(2k+1)}{2.4.6....(2k)(2k+2)}< \frac{1}{\sqrt{2k+1}}.\frac{2k+1}{2k+2}=\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}\) (1)
Xét \(\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}-\frac{1}{\sqrt{2k+3}}=\frac{\sqrt{(2k+1)(2k+3)}-(2k+2)}{(2k+2)\sqrt{2k+3}}\) \(=\frac{-1}{[\sqrt{(2k+1)(2k+3)}+(2k+2)](2k+2)\sqrt{2k+3}}<0\)
Suy ra \(\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1.3.5....(2k-1)(2k+1)}{2.4.6....(2k)(2k+2)}< \frac{1}{\sqrt{2k+3}}\)
Vậy bài toán đúng với \(n=k+1\), phép quy nạp hoàn thành.
Do đó ta có đpcm.
áp dụng bđt svacxơ, ta có
\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{a+b}=\frac{1}{a+b}\)
dấu = xảy ra <=>\(\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}\)
nên \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=2.\frac{x^{2n}}{a^n}\)
,mặt khác, ta có \(\frac{2}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{1}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{\left(x^2+y^2\right)^n}{\left(a+b\right)^n}=2.\frac{\left(2.x^2\right)^n}{\left(2.a\right)^n}=2.\frac{2^2.x^{2n}}{2^2.a^n}=2.\frac{x^{2n}}{a^n}\)
từ 2 điều trên => \(\frac{x^{2n}}{a^n}+\frac{y^{2n}}{b^n}=\frac{2}{\left(a+b\right)^n}\)