K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TK
1
12 tháng 3 2019
\(VT=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy schawazr ta có :
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{\frac{2\left(x+y\right)^2}{4}}=4+2=6\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh .
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
8 tháng 7 2022
a: \(x^2+x+1=x^2+x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
b: \(x-2\cdot\sqrt{x}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
c: \(=x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{2}y+\dfrac{1}{4}y^2+\dfrac{3}{4}y^2=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2>0\forall x,y\ne0\)
TN
15 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{yz}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=\frac{3x}{y+z+1}\)
Tương tự rồi cộng lại ta có:
\(VT\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+yz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{yz+xz+z}\right)\)
\(\ge\frac{3\left(x^4+y^4+z^4\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)
4 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\sqrt[3]{yz}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{x}{\frac{y+z+1}{3}}=\frac{3x}{y+z+1}3yz≤3y+z+1⇒3yzx≥3y+z+1x=y+z+13x
Tương tự rồi cộng lại ta có:
VT\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{x+z+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)VT≥3(y+z+1x+x+z+1y+x+y+1z)
=3\left(\frac{x^2}{xy+yz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{yz+xz+z}\right)=3(xy+yz+xx2+xy+yz+yy2+yz+xz+zz2)
\ge\frac{3\left(x^4+y^4+z^4\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}≥2(xy+yz+xz)+x+y+z3(x4+y4+z4)≥x2+y2+z2(x2+y2+z2)2
=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP=x2+y2+z2≥xy+yz+xz=VP
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1x=y=z=1
NT
0
KT
29 tháng 7 2018
a) \(\frac{\sqrt{4mn^2}}{\sqrt{20m}}=\sqrt{\frac{4mn^2}{20m}}=\sqrt{\frac{n^2}{5}}=\frac{n}{\sqrt{5}}\)
b) \(\frac{\sqrt{16a^4b^6}}{\sqrt{12a^6b^6}}=\sqrt{\frac{16a^4b^6}{12a^6b^6}}=\sqrt{\frac{4}{3a^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}.\left|a\right|}=-\frac{2}{a\sqrt{3}}\)
d) \(\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=x+\sqrt{xy}+y\)
e) \(\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}}=\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}\)
10 tháng 7 2019
\(3,\)Áp dụng bđt Mincopski \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)hai lần có
\(VT\ge\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}+\sqrt{z+xy}\)
\(\ge\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}\)
\(=\sqrt{x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)+\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}\)
\(=\sqrt{1+2t+t^2}\left(t=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(=\sqrt{\left(t+1\right)^2}=t+1=VP\left(Đpcm\right)\)
10 tháng 7 2019
\(2,\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\sqrt{a}.\sqrt{b}}}=\sqrt{\sqrt{ab}}\left(đpcm\right)\)
Đề sai rồi phải là \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\) chứ!
Ta có: \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\forall x;y\)
\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{xy}+y\ge0\)
\(\Leftrightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y
Vậy .....
Tk nha!
mình chỉnh lại đề: CMR: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\) \(\forall x;y>0\)
Bài làm
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x+y}{2}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{2}=\sqrt{xy}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)