O
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TL
2
30 tháng 9 2015
xy = 1 => \(\left(x+y\right)^2\ge4xy=4.1=4\Rightarrow x+y\ge2\)
Ta CM BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ( dễ dàng cm đc bằng cách xét hiệu )
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge\frac{4}{x+y}+\frac{2}{x+y}=\frac{6}{x+y}\)\(=\frac{6}{2}=3\)
dấu bằng của BĐT xảy ra khi x = y = 1
30 tháng 9 2015
Lời giải bạn Thắng bị sai.
Ta có \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}=\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}=\frac{x+y}{2}+\left(\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\right).\)
Theo bất đẳng thức Cô-Si \(\frac{x+y}{2}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{2}=1,\) và \(\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge2\sqrt{\frac{x+y}{2}\cdot\frac{2}{x+y}}=2.\) Suy ra
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{x+y}\ge1+2=3.\)
NT
0
TK
1
12 tháng 3 2019
\(VT=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy schawazr ta có :
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{\frac{2\left(x+y\right)^2}{4}}=4+2=6\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh .
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
PT
4
23 tháng 5 2019
\(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=2+x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\)
Áp dụng bđt AM-GM và bđt Cauchy-Schwarz:
\(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}=x^2y^2+\frac{1}{16x^2y^2}+\frac{15}{16x^2y^2}\)
\(\ge2\sqrt{x^2y^2.\frac{1}{16x^2y^2}}+\frac{15}{16x^2y^2}=8+\frac{15}{16x^2y^2}\)
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow x^2y^2\le\frac{1}{16}\Rightarrow16x^2y^2\le1\Rightarrow\frac{15}{16x^2y^2}\ge15\)
\(\Rightarrow8+\frac{15}{16x^2y^2}\ge23\)
\("="\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
23 tháng 5 2019
bạn thay x=1-y rồi thay vào H sau đó làm bình thường nhé
Ta có:
\(\frac{x+y}{xy}+\frac{2}{x+y}=x+y+\frac{2}{x+y}\)
\(=\frac{x+y}{2}+\frac{x+y}{2}+\frac{2}{x+y}\ge\sqrt{xy}+2=1+2=3\)