Question

[lã hoàng trà my]

CMR: A= 5ⁿ . (5ⁿ+1)-6ⁿ(3ⁿ+2ⁿ) chia hết cho 91 với mọi n thuộc N

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

 \(A=5^n\left(5^n+1\right)-6^n\left(3^n+2^n\right)=25^n+5^n-18^n-12^n\)

Ta có: 25≡4 (mod 7) và 18≡4 (mod 7)

\(\Rightarrow25^n\text{≡}4^n\left(mod7\right)\)và \(18^n\text{≡}4\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow25^n-18^n⋮7\)(1)

Chứng minh tương tự, ta được \(5^n-12^n⋮7\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(25^n+5^n-18^n-12^n⋮7\)

Tương tự như trên ta cũng chứng minh được \(25^n+5^n-18^n-12^n⋮13\)

Mà (7;13) = 1 nên \(25^n+5^n-18^n-12^n⋮91\)

Vậy A chia hết cho 91 với mọi n thuộc N (đpcm)