Question

[Quỳnh Nhã (Nagisa Kino)]

Cmr 2016² +a²+b²+c²+d²>=2016(a+b+c+d)

Answer 1

[Le Thi Khanh Huyen]

 Ứng dụng của tam thức bậc hai.

Bạn tham khảo :

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
\(2016^2+a^2+b^2+c^2+d^2-2016\left(a+b+c+d\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow2016^2-2016\left(a+b+c+d\right)+a^2+b^2+c^2+d^2\ge0\)

Xét tam thức bậc hai: 

\(f\left(a\right)=2016^2-2016\left(a+b+c+d\right)+a^2+b^2+c^2+d^2\)

Ta có: 

\(\Delta=\left(a+b+c+d\right)^2-4\left(a+b+c+d\right)\)
Theo bất đẳng thức BCS, ta có:

\(\left(a+b+c+d\right)^2\le\left(1+1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)=4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(a+b+c+d\right)^2-4\left(a+b+c+d\right)\le0\)

\(\Rightarrow f\left(a\right)\ge0\)

Từ đó ta có đpcm. 

Answer 2

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Theo bđt Bunhiacopxki, ta có \(\left(1^2+1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}\)\(\Rightarrow2016^2+a^2+b^2+c^2+d^2\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}+2016^2\ge\)

\(\ge2\sqrt{\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}.2016^2}=2016\left(a+b+c+d\right)\)

Vậy ta có đpcm