NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
QB
0
LT
1
1 tháng 6 2018
\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
vì \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}>=\frac{9}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{1+3}=\frac{9}{4}\)(bđt svacxo)
\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)< =3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=\(\frac{1}{3}\)
KN
22 tháng 2 2020
Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz dạng Engel, ta được:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{x+y}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
KN
22 tháng 2 2020
Thật ra bài này không cần điều kiện \(x+y\le1\)thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)vẫn đúng với x,y dương và x = y.
Mình nghĩ nên chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge4\)thì điều kiện \(x+y\le1\) sẽ có nghĩa!
DQ
0
VH
0
PN
24 tháng 7 2020
Theo bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu thức ta có :
\(x^4+y^4\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
A
0
TK
2
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
3 tháng 8 2021
\(P=x+y+\frac{9}{x}+\frac{16}{y}=x+\frac{9}{x}+y+\frac{16}{y}\ge2\sqrt{x.\frac{9}{x}}+2\sqrt{y.\frac{16}{y}}=14\)
Dấu \(=\)khi \(x=3,y=4\).
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
3 tháng 8 2021
Có thể đề bài đúng phải là điều kiện \(x+y\le4\).
Ta có:
\(P=x+y+\frac{9}{x}+\frac{16}{y}=\frac{49}{16}x+\frac{9}{x}+\frac{49}{16}y+\frac{16}{y}-\frac{33}{16}\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{\frac{49}{16}x\times\frac{9}{x}}+2\sqrt{\frac{49}{16}y\times\frac{16}{y}}-\frac{33}{16}\times4\)
\(=\frac{21}{2}+14-\frac{33}{4}=\frac{65}{4}\)
Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}\frac{49}{16}x=\frac{9}{x}\\\frac{49}{16}y=\frac{16}{y}\\x+y=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{12}{7}\\y=\frac{16}{7}\end{cases}}\).
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 3 2018
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{y}+\frac{y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
\(\frac{1}{z}+\frac{z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{4}\geq 3\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq 3-\frac{x+y+z}{4}\geq 3-\frac{6}{4}\) (do \(x+y+z\leq 6\) )
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3\sqrt[3]{1}=3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)