Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(A=dfrac{x}{x+y+z}+dfrac{y}{y+z+t}+dfrac{z}{z+t+x}+dfrac{t}{t+x+y})
Giả sử: (Ain N) thì
(left{{}egin{matrix}dfrac{x}{x+y+z}in N\dfrac{y}{y+z+t}in N\dfrac{z}{z+t+x}in N\dfrac{t}{x+y+t}in Nend{matrix} ight.) (Leftrightarrowleft{{}egin{matrix}x⋮x+y+z\y⋮y+z+t\z⋮z+t+x\t⋮t+x+yend{matrix} ight.)
Vì (x;y;z;tin Ncircledast) nên
(left{{}egin{matrix}xge x+y+z\yge y+z+t\zge z+t+x\tge t+x+yend{matrix} ight.Leftrightarrowleft{{}egin{matrix}x+yle0\z+tle0\t+xle0\x+yle0end{matrix} ight.)
Điều trên ko thể xảy ra, (A otin N)
\(M>\dfrac{x}{x+y+z+t}+\dfrac{y}{x+y+z+t}+\dfrac{z}{x+y+z+t}+\dfrac{t}{x+y+z+t}=1\)
\(\dfrac{a}{b}< 1\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+m}{b+m}\) (Bạn chứng minh qua nhân chéo nhé)
\(\Rightarrow M< \dfrac{x+t}{x+y+z+t}+\dfrac{y+z}{x+y+z+t}+\dfrac{z+x}{x+y+z+t}+\dfrac{t+y}{x+y+z+t}=2\)
Do \(1< M< 2\) mà \(1\) và \(2\) là hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow M\notin\) N
Sai đề chỗ p/s cuối. Xét 2 t/h.
Oáp Z_z có gì mai ns nhé!
mk ko làm cụ thể nhưng chỉ nêu hướng lm thôi nhé
bn áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau vào giả thiết, ra 1/3
sau đó suy ra x = (y+z+t)/3, y,z,t cũng làm tương tự
sau đó bạn quy đồng các mẫu của P
sau khi phân tích bn sẽ lấy kq vừa tính đc phần trên
mk nghĩ kết quả ra là 15 nhưng có thể sai
chúc bn may mắn
Ta có: \(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{y+t+x}=\dfrac{t}{y+x+z}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y+z+t}+1=\dfrac{y}{z+t+x}+1=\dfrac{z}{y+t+x}+1=\dfrac{t}{y+x+z}+1\)
\(\Rightarrow\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t}=\dfrac{x+y+z+t}{z+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{y+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{y+x+z}\)+) Xét \(x+y+z+t=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\left(z+t\right)\\y+z=-\left(x+t\right)\\z+t=-\left(x+y\right)\\x+t=-\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=-1\)
+) Xét \(x+y+z+t\ne0\Rightarrow x=y=z=t\)
\(\Rightarrow A=1\)
Vậy A = -1 hoặc A = 1
Ta có:\(\dfrac{x}{y+z+t}+1=\dfrac{y}{z+t+x}+1=\dfrac{z}{y+t+x}+1=\dfrac{t}{y+x+z}+1\)\(\Rightarrow\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t}=\dfrac{x+y+z+t}{z+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{t+x+y}=\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z}\)
Nếu x+y+z+t\(\ne\)0 thì y+z+t=z+t+x=t+x+y=x+y+z
=>x=y=z=t nên P=1+1+1+1=4
Nếu X+y+z+t=0 thì P=-4
Ta có :
\(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y+z+t}+1=\dfrac{y}{z+t+x}+1=\dfrac{z}{t+x+y}+1=\dfrac{t}{x+y+z}+1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t}=\dfrac{x+y+z+t}{z+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{t+x+y}=\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z}\)
+) Nếu \(x+y+z+t\ne0\)
\(\Leftrightarrow y+z+t=z+t+x=t+x+y=x+y+z\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=t\ne0\)
Mà \(P=\dfrac{x+y}{z+t}+\dfrac{y+z}{t+x}+\dfrac{z+t}{x+y}=\dfrac{t+x}{y+z}\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{x+x}{x+x}+\dfrac{x+x}{x+x}+\dfrac{x+x}{x+x}+\dfrac{x+x}{x+x}\)
\(\Leftrightarrow P=\dfrac{2x}{2x}+\dfrac{2x}{2x}+\dfrac{2x}{2x}+\dfrac{2x}{2x}\)
\(\Leftrightarrow P=4\)
+) Nếu \(x+y+z+t=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=-\left(z+t\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{z+t}=\dfrac{-\left(z+t\right)}{z+t}=-1\)
Tương tự ta có :
\(\dfrac{y+z}{t+x}=\dfrac{z+t}{x+y}=\dfrac{t+x}{y+z}=-1\)
\(\Leftrightarrow P=-4\)
Vậy ..
\(\dfrac{y+z+t-nx}{x}=\dfrac{z+t+x-ny}{y}=\dfrac{t+x+y-nz}{z}=\dfrac{x+y+z-nt}{t}\)
\(=\dfrac{y+z+t-nx+z+t+x-ny+t+x+y-nz+x+y+z-nt}{x+y+z+t}\)
\(=\dfrac{3x+3y+3z+3t-n\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}\)
\(=\dfrac{3\left(x+y+z+t\right)-n\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}=\dfrac{\left(3-n\right)\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}=3-n\)
Nên \(\left\{{}\begin{matrix}y+z+t-nx=3x-nx\\z+t+x-ny=3y-ny\\t+x+y-nz=3z-nz\\x+y+z-nt=3t-nt\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+z+t=3x\\z+t+x=3y\\t+x+y=3z\\x+y+z=3t\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{y+z+t}{3}\\y=\dfrac{z+t+x}{3}\\z=\dfrac{t+x+y}{3}\\t=\dfrac{x+y+z}{3}\end{matrix}\right.\)
Thay vào \(P\) ta có:
\(P=x+2y-3z+t\)
\(P=\dfrac{y+z+t}{3}+\dfrac{2\left(z+t+x\right)}{3}-\dfrac{3\left(t+x+y\right)}{3}+\dfrac{x+y+z}{3}\)
\(P=\dfrac{y+z+t+2z+t+x-3t-3x-3y+x+y+z}{3}\)
\(P=\dfrac{\left(x+x-3x\right)+\left(y+y-3y\right)+\left(z+z+2z\right)+\left(t+t-3t\right)}{3}\)
\(P=\dfrac{-x-y-z+4t}{3}\)
\(P=\dfrac{-\left(x+y+z+t\right)+5t}{3}\)
\(P=\dfrac{-2012+5t}{3}\)
Tốn sức quá T^T
\(M=\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+t}+\dfrac{z}{y+z+t}+\dfrac{t}{x+z+t}\)
\(M+4=\left(\dfrac{x}{x+y+z}+1\right)+\left(\dfrac{y}{x+y+t}+1\right)+\left(\dfrac{z}{y+z+t}+1\right)+\left(\dfrac{t}{x+z+t}+1\right)\)\(M+4=\dfrac{x+t}{x+y+z+t}+\dfrac{y+z}{x+y+z+t}+\dfrac{z+x}{x+y+z+t}+\dfrac{t+y}{x+y+z+t}\)\(M+4=\dfrac{x+t+y+z+z+x+t+y}{x+y+z+t}\)
\(M+4=\dfrac{2\left(x+y+z+t\right)}{x+y+z+t}\)
\(M+4=2\)
\(M=2-4=-2\notin N\)
Ta có đpcm
\(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{x+y}{\left(x+y\right)+2\left(z+t\right)}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)+2\left(z+t\right)=3\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow2\left(z+t\right)=2\left(x+y\right)\Rightarrow\dfrac{x+y}{z+t}=1\)
Chứng minh tương tự ta được:
\(\dfrac{y+z}{x+t}=1;\dfrac{z+t}{x+y}=1;\dfrac{t+x}{y+z}=1\)
\(\Rightarrow P=1+1+1+1=4\)
+Xét x+y+z+t=0
\(\Rightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}z+t=-\left(x+y\right)\\x+t=-\left(y+z\right)\\x+y=-\left(z+t\right)\\y+z=-\left(t+x\right)\end{matrix}\right.\)
Khi đó M=-4
+Xét x+y+z+t\(\ne\)0
ADTC dãy tỉ số bằng nhau ta có
\(\dfrac{x}{y+z+t}\)=\(\dfrac{y}{x+y+t}\)=\(\dfrac{z}{x+y+t}\)=\(\dfrac{z}{x+y+t}\)=\(\dfrac{x+y+z+t}{3.\left(x+y+z+t\right)}\)=\(\dfrac{1}{3}\)
+Với\(\dfrac{x}{y+z+t}\)=\(\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\)3x=y+z+t
\(\Rightarrow\)4x=x+y+z+t
Chứng minh tương tự ta có
4y=x+y+z+t
4z=x+y+z+t
4t=x+y+z+t
Do đó x=y=z=t
Khi đó M=4
Từ \(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y+z+t}+1=\dfrac{y}{z+t+x}+1=\dfrac{z}{t+x+y}+1=\dfrac{t}{x+y+z}+1\)
\(\Rightarrow\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t}=\dfrac{x+y+z+t}{z+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{t+x+y}=\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z}\)
Vì \(x+y+z+t\ne0\) nên ta đi xét \(x+y+z+t=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\left(z+t\right)\\y+z=-\left(t+x\right)\\z+t=-\left(x+y\right)\\t+x=-\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\). Khi đó
\(P=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=4\)
Đặt:
\(linh=\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{y+z+t}+\dfrac{z}{z+t+x}+\dfrac{t}{t+x+y}\)
Giả sử: \(linh\in N\)
Điều này chứng tỏ:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{x+y+z}\in N\\\dfrac{y}{y+z+t}\in N\\\dfrac{z}{z+t+x}\in N\\\dfrac{t}{t+x+y}\in N\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x⋮x+y+z\\y⋮y+z+t\\z⋮z+t+x\\t⋮t+x+y\end{matrix}\right.\)
Vì \(x;y;z;t\in N\circledast\) nên điều trên tương đương với:
\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge x+y+z\\y\ge y+z+t\\z\ge z+t+x\\t\ge t+x+y\end{matrix}\right.\)(Không thể đồng thời xảy ra)
Nên: Điều giả sử sai,\(linh\notin N\left(đpcm\right)\)