Câu hỏi của Cool_Boy

Question

Chứng tỏ rằng nếu đa thức $M\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d$có giá trị nguyên với mòi x nguyên thì $6a,2b,a+b+c,d$

là các số nguyên

Quỳnh Trang Nguyễn · Accepted Answer

$M_{\left(x\right)}=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d\ M_{\left(0\right)}=d$

Mà M(x) nguyên nên d nguyên

$M_{\left(1\right)}=a+b+c+d$ mà d nguyên nên a+b+c nguyên

$M_{\left(2\right)}=8a+4b+2c+d$mà d nguyên, a+b+c nguyên nên 6a+2b nguyên

$M_{\left(-1\right)}=-a+b-c+d$mà d nguyên, a+b+c nguyên nên b nguyên

Vì b nguyên mà 6a+2b nguyên nên 6a nguyên, 2b nguyên

Câu trả lời:

$M_{\left(x\right)}=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d\ M_{\left(0\right)}=d$

Mà M(x) nguyên nên d nguyên

$M_{\left(1\right)}=a+b+c+d$ mà d nguyên nên a+b+c nguyên

$M_{\left(2\right)}=8a+4b+2c+d$mà d nguyên, a+b+c nguyên nên 6a+2b nguyên

$M_{\left(-1\right)}=-a+b-c+d$mà d nguyên, a+b+c nguyên nên b nguyên

Vì b nguyên mà 6a+2b nguyên nên 6a nguyên, 2b nguyên

FL.Han_ · Answer

$P\left(0\right)=d\inℤ\left(1\right)$

$P\left(1\right)=a+b+c+d\inℤ\left(2\right)$

$P\left(-1\right)=-a+b-c+d\inℤ\left(3\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow2b\inℤ,2a+2c\inℤ$

$P\left(2\right)=8a+4b+2c+d=6a+4b+2a+2c+d\inℤ$

$\Rightarrow6a\inℤ$

Vậy $6a,2b,a+b+c$ và $d$là số nguyên