Question

[Jeon Jung Kook]

chứng tỏ nếu a,b thuộc N

thì A=(a+b)*(a-b)chia ht cho 4 với a,b là số lẻ và a >hoặc = b

Answer 1

[Nguyễn Văn Hưởng]

Ta có: A = ( a + b )( a - b )

Suy ra A = a( a - b ) + b( a - b )

Suy ra A = a² - ab + ab - b²

Suy ra A = a² - b²

*TH1: Nếu a = b 

Thì a² = b² 

Suy ra a² - b² = 0

Mà 0 chia hết cho 4

Suy ra a² - b² chia hết cho 4

*TH2: Nếu a > b

Mà b >= 1

Nên a > 1

Suy ra a >= 3

Mà a² - b² = ( a - b )² + 2ab - 2b²

Ta lại có ( a - b )² chia hết cho 4 với a > b và a, b là số lẻ

Ta có: 2ab - 2b² = 2b( a - b )

Mà a,b là số lẻ

Nên a - b chia hết cho 2

Đặt a - b = 2k ( k là số tự nhiên )

Suy ra 2b( a - b ) = 2b.2k = 4ak

Mà 4ak chia hết cho 4

Suy ra 2ab - 2b² chia hết cho 4

Mà ( a - b )² chia hết cho 4

Nên ( a - b )² + 2ab - 2b² chia hết cho 4

Suy ra a² - b² chia hết cho 4

Vậy nếu a, b là số tự nhiên thì A - ( a + b )( a + b ) chia hết cho 4 với a, b là số lẻ và a >= b

*Lưu ý: Bài viết thuộc quyền sở hữu của Nguyễn Văn Hưởng Corporation, vui lòng không sao chép dưới mọi hình thức.