PT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LT
1
3 tháng 4 2017
Quy đồng mẫu số ở vế trái:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
Ta cần chứng minh : \(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2 \(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2\ge2ab\)
Chứng minh bất đẳng thức Cosi(lớp 8) : Ta luôn có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\Rightarrow a^2+b^2\ge0+2ab=2ab\)(1)
Từ (1) suy ra bài toán luôn đúng với mọi a,b hay \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)hay \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow\)đpcm.
NV
2
23 tháng 5 2018
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\)
\(=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}\)
\(=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( do a;b > 0 )
Dấu "=" xảy ra khi :
\(a-b=0\Leftrightarrow a=b\)
Vậy ...
14 tháng 3 2017
Cách 1: Nếu bạn đã học các hằng đẳng thức đáng nhớ.
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)\(=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)\(=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)
Vì a,b > 0 nên \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}>0\)
hay \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)\(>0\)
=>\(\frac{a^2+b^2}{ab}>2\)
=>\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2\)
Cách 2: nếu bạn đã học bất đẳng thức cô-si:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\ge2\sqrt{1}>2\)(theo bất đẳng thức cô-si)
YC
3
9 tháng 5 2015
Giả sử \(a\ge b\) suy ra a = b + m (m \(\ge\) 0).
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=\frac{b}{b}+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}\)
\(=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\) m = 0 \(\Leftrightarrow\) a = b)
1 đ-ú-n-g nha, nghĩ mãi mới ra đó !
S
28 tháng 11 2018
Ta có:
\(\frac{a}{b}>0\Rightarrow a,b\ne0\)
Giả sử: \(a\ge b\)Đặt: \(a=b+m\left(m\in N\right)\Rightarrow\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
\(=1+\frac{m}{b}+1-\frac{m}{b+m}=2+\frac{m}{b}-\frac{m}{b+m}\) Vì: \(b\le b+m\Rightarrow\frac{m}{b}\ge\frac{m}{b+m}\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(ĐPCM\right)\)
25 tháng 3 2020
Bài 1: D
Bài 2:
Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}\pm1=\frac{c}{d}\pm1\)
\(\Rightarrow\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}\)(đpcm)
TN
2
7 tháng 5 2019
Xét hiệu :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\)
\(=\frac{a^2-ab-ab+b^2}{ab}=\frac{a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)}{ab}\)\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-b\right)}{ab}\)\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)
Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\) và \(ab>0\)( do a, b > 0 )
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}>0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\)
Hay \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)\(\left(đpcm\right)\)
TG
7 tháng 5 2019
Ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\left(đpcm\right)\)
25 tháng 9 2015
Không giảm tính tổng quát, giả sử a > b => a = b + m (m > 0)
Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{b+m}{b}+\frac{b}{b+m}\)
\(=1+\frac{m}{b}+\frac{b}{b+m}\ge1+\frac{m}{b+m}+\frac{b}{b+m}=1+\frac{m+b}{b+m}=1+1=2\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) (dấu = xảy ra khi m = 0 <=> a = b)
25 tháng 9 2015
ta có (a-b)2\(\ge\)0
a2+b2\(\ge\)2ab (1)
ta có \(\frac{a}{b} +\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
kết hợp với (1) ta có \(\frac{a}{b} +\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\) \(\ge\frac{2ab}{ab}=2\)
vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Ta biến đổi tương đương:
a/b + b/a >= 2
<=> (a^2+b^2)/ab >=2
<=> a^2+b^2>=2ab
<=> a^2-2ab+b^2>=0
<=> (a-b)^2 >= 0 (*)
Biểu thức (*) đúng; quá trình biến đổi là tương đương do vậy biểu thức đã được chứng minh.
Chúc bạn học giỏi.