K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 9 2024
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\geq \frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1^2}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 6 2019
Lời giải:
Xét hiệu: \(x-\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}(x-1)}{\sqrt{x}+1}\)
a) Với $x>1$ thì: \(\sqrt{x}>0; x-1>0; \sqrt{x}+1>0\Rightarrow x-\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}(x-1)}{\sqrt{x}+1}>0\)
\(\Rightarrow x> \sqrt{x}\)
b) Với $0< x< 1$ thì:
\(\sqrt{x}>0; x-1< 0; \sqrt{x}+1>0\Rightarrow x-\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}(x-1)}{\sqrt{x}+1}< 0\)
\(\Rightarrow x< \sqrt{x}\)
NV
1
MT
26 tháng 8 2015
\(\sqrt{1+x^2}\text{ có nghĩa khi :}\)
\(1+x^2\ge0\)
mà \(1+x^2>0\text{ với mọi x nên:}\)
Với mọi x căn thức đều có nghĩa
ND
0
PT
1
17 tháng 7 2016
Đặt \(x=a+\frac{1}{3}\) ; \(y=b+\frac{1}{3}\) ; \(z=c+\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow x+y+z=\left(a+b+c\right)+1=1\Rightarrow a+b+c=0\)
Ta có : \(x^2+y^2+z^2=\left(a+\frac{1}{3}\right)^2+\left(b+\frac{1}{3}\right)^2+\left(c+\frac{1}{3}\right)^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{3}\)
\(=a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{1}{3}\)
Vậy \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)
\(x^4>1\)
<=> \(x^4-1>0\)
<=> \(\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)>0\)
Do x2 + 1 > 0 với mọi x nên
\(\left(x-1\right)\left(x+1\right)>0\)
<=>> \(\hept{\begin{cases}x-1>0\\x+1>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x>-1\end{cases}}\Rightarrow x>1\) Hay \(\hept{\begin{cases}x-1< 0\\x+1< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< 1\\x< -1\end{cases}}\Rightarrow x< -1\)
Vậy ................
x4 > 1
<=> x2 > 1
<=> \(|x|\)> 1
Áp dụng công thức: \(|A|>a\left(a>0\right)\Rightarrow\orbr{\begin{cases}A>a\\A< -a\end{cases}}\) (cái này đã học từ lớp dưới rồi nha bn)
<=> \(\orbr{\begin{cases}x>1\\x< -1\end{cases}}\)