Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\sqrt{a^3+b^3+c^3}=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=a+b+c\)(với a,b,c dương)
=>với mọi n dương ta cũng viết biểu thức đc dưới dạng:
\(S_n=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)
Đặt \(A=1+2+3+....+n\)
Tổng A có số số hạng theo n là:
\(\left(n-1\right):1+1=n\)(số)
Tổng A theo n là:
\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\).Thay A vào ta có:
\(\Rightarrow S_n=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Ta có công thức sau:
\(1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\left(1+2+3+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\) (*)
\(\Leftrightarrow1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) (1)
Cần chứng minh (1) đúng với mọi n dương
Với \(n=1;n=2\) thì đẳng thức đúng
Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)
Nghĩa là: \(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\)
Viết lại đẳng thức cần chứng minh \(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\)(**)
Ta cũng có công thức tương tự (*)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(k+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(k^2+3k+2\right)^2-\left(k^2+k\right)^2=4\left(k+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.
Ez nhé
\(A=5^n\left(5^n+1\right)-6^n\left(3^n+2^n\right)=25^n+5^n-18^n-12^n\)
Ta có : \(A=\left(25^n-18^n\right)-\left(12^n-5^n\right)⋮7\forall n\in N\)
\(A=\left(25^n-12^n\right)-\left(18^n-5^n\right)⋮13\forall n\in Z\)
Mà \(\left(7;13\right)=1\) nên \(A⋮91\) (đpcm)
Câu 1:
\(\frac{x+13}{2000}+\frac{x+12}{2001}+\frac{x+11}{2002}+\frac{x+8052}{2013}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+13}{2000}+\frac{x+12}{2001}+\frac{x+11}{2002}+\frac{x+2013}{2013}+\frac{6039}{2013}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+13}{2000}+\frac{x+12}{2001}+\frac{x+11}{2002}+\frac{x+2013}{2013}+3=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+13}{2000}+1+\frac{x+12}{2001}+1+\frac{x+11}{2002}+1+\frac{x+2013}{2013}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+2013}{2000}+\frac{x+2013}{2001}+\frac{x+2013}{2002}+\frac{x+2013}{2013}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2013\right)\left(\frac{1}{2000}+\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2013}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+2013=0\). Do \(\frac{1}{2000}+\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2013}\ne0\)
\(\Leftrightarrow x=-2013\)
Câu 2:
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
Thay \(a=b=c\) vào \(B=a^2+b^2+c^2-\left(a+2b+3c\right)+2017\)
\(B=3a^2-6a+2017=3a^2-6a+3+2014\)
\(=3\left(a^2-2a+1\right)+2014=3\left(a-1\right)^2+2014\ge2014\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=1\)
Lại có \(a=b=c\Rightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(B_{Min}=2014\) khi \(a=b=c=1\)
Câu 5:
\(S_n=1^3+2^3+...+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Trước hết ta chứng minh \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\) (*)
Với \(n=1;n=2\) (*) đúng
Giả sử (*) đúng với n=k khi đó (*) thành:
\(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Thật vậy giả sử (*) đúng với n=k+1 khi đó (*) thành:
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\left(1\right)\)
Cần chứng minh \(\left(1\right)\) đúng, mặt khác ta lại có:
\(\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\frac{\left(n^2+n\right)^2}{4}\)
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\frac{\left(k^2+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^3=4\left(k+1\right)^3\)
Theo nguyên lí quy nạp ta có Đpcm
Vậy \(S_n=1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
b)\(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)
\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)
Đặt \(t=n^2+3n\) thì ta có:
\(A=t\left(t+2\right)+1=t^2+2t+1\)
\(=\left(t+1\right)^2=\left(n^2+3n+1\right)^2\) là SCP với mọi \(n\in N\)
a, (n+3)2-(n-1)2
= n2+6n+9-n2+2n-1
= 8n + 8
= 8(n+1) chia hết cho 8
Tất cả các đẳng thức trên đều được chứng minh theo phương pháp quy nạp
Đặt n = k thì có đẳng thức
Chứng minh rằng n = k+1 cũng đúng ( vế trái (k+1) = vế phải (k+1) )
cái này đã đc những nhà toán học cm rồi trong phần quy nạp nâng cao và các chuyên đề toán 8 có ghi (mấy trang cuối)