Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho 4 số a,b,c,d khác 0 thỏa mãn abcd=1 và a+b+c+d=1/a+1/b+1/c+/1d. chứng minh rằng tồn tại tích hai số trong 4 số bằng
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
vì 0<a<1 ;0<b<2 ;0<c<3
=> 1-a > 0 <=> 0<\(\sqrt{1-a}\) < 1
=> 0 <\(\dfrac{\sqrt{1-a}}{a}\) ≤ 1 (1)
c/m tương tự với b,c
=> 0 < \(\dfrac{\sqrt{2-b}}{b}\) ≤ 2 (2)
và 0 < \(\dfrac{\sqrt{3-c}}{c}\) ≤ 3 (3)
Cộng các vế của bđt với nhau
=> 0 < \(\dfrac{\sqrt{1-a}}{a}+\dfrac{\sqrt{2-b}}{b}+\dfrac{\sqrt{3-c}}{c}\) ≤ 6
Vậy GTLN của A là 6
Bài 1, t nghĩ VP căn phải kéo dài hết
Áp dụng bđt bu nhi a, ta có
\(\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\le\left(a+d\right)\left(b+c\right)\Rightarrow\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\le\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\left(ĐPCM\right)\)
Bài 2, Áp dụng bài 1, ta có
\(\left(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\right)\le\left(a^2+b^2\right)\left[3a\left(a+2b\right)+3b\left(b+2a\right)\right]\)
\(\le2\left(3a^2+6ab+3b^2+6ab\right)=2\left[3\left(a^2+b^2\right)+12ab\right]\le2\left(6+12ab\right)\)
Áp dụng bđt cô si, ta có
\(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow2\ge2ab\Rightarrow12\ge12ab\)
=>(...)^2<=36 => ...<=6 (ĐPcM)
dấu = xảy ra <=> a=b=1
^_^
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-0a1-0b2-0c3tim-gtln-cua-a-dfracsqrt1-aa-dfracsqrt2-bb-dfracsqrt3-ccbai-nay-dung-cauchyminh-suy-nghi.179994478119
\(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+a^2\ge2ca.\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{3^2}{3}=3\)
Khi đó \(c^2+3\ge c^2+ab+bc+ca=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{c^2+3}\ge\sqrt{b+c}\sqrt{a+c}\)
\(a^2+3\ge a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{a^2+c}\ge\sqrt{\left(a+b\right)}\sqrt{a+c}\)
\(b^2+3\ge b^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\Leftrightarrow\sqrt{b^2+3}\ge\sqrt{a+b}\sqrt{b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{ab}{\sqrt{b+c}\sqrt{a+c}}+\frac{bc}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}+\frac{ca}{\sqrt{a+b}\sqrt{b+c}}\)*
áp dụng bđt Cauchy ngược dấu
\(\sqrt{\frac{1}{a+b}}.\sqrt{\frac{1}{a+c}}\le\frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}}{2}\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}\le\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2bc}{\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}}\le\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}\)
Chứng minh tương tự \(\frac{2ab}{\sqrt{a+c}\sqrt{b+c}}\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\)
\(\frac{2ca}{\sqrt{b+c}\sqrt{a+b}}\le\frac{ca}{b+c}+\frac{ca}{a+b}\)
Kết hợp với * ta có
\(\frac{2ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{2bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{2ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\right)=\frac{bc+ca}{a+b}+\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ca}{b+c}=a+b+c\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}.\)
nhầm xíu dòng thứ 2 từ dưới lên
\(2\left(...\right)\ge\frac{ab}{..}...\)=...
Cho c = 0 thì ta chứng minh
\(0< |a+b\sqrt{2}|< \frac{1}{1000}\)
Để ý thấy biểu thức trong trị tuyệt đối có \(\sqrt{2}\)và trị tuyệt đối phải nhỏ hơn 1 nên ta phải chọn a, b trong khai triển
\(\left(\sqrt{2}-1\right)^n=a+b\sqrt{2}\)(với n tự nhiên)
\(\Rightarrow0< \left(\sqrt{2}-1\right)^n< \frac{1}{1000}\)(1)
Vì \(0< \sqrt{2}-1< 1\)nên chỉ cần n đủ lớn thì 1 sẽ đúng hay ta tìm được các giá trị a, b nguyên thỏa mãn đề bài
Ta thấy với (1) đúng với mọi n tự nhiên lớn hơn 7
PS: Vì chứng minh tồn tại nên chỉ cần chỉ ra 1 số là được. Không làm bài chứng minh dài dòng chi mệt
khó quá ko ai làm đc à. dùng đi-dép-lê đi