Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+\left(7^5+7^6+7^7+7^8\right)+...+\left(7^{4k-3}+7^{4k-2}+7^{4k-1}+7^{4k}\right)\)
\(A=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+7^4\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+7^{4k-4}\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\)
\(A=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\left(1+7+7^4+7^8+...+7^{4k-4}\right)\)
\(A=7\left(1+7+49+343\right)\left(1+7^4+7^8+...+7^{4k-4}=7.400.M\right)\)
vậy \(A⋮400\)
\(A=7^1+7^2+7^3+7^4+...+7^{4k}\)
\(=\left(7^1+7^2+7^3+7^4\right)+...+\left(7^{4k-3}+7^{4k-2}+7^{4k-1}+7^{4k}\right)\)
\(=7.\left(1+7+7^2+7^3\right)+...+7^{4k-3}.\left(1+7+7^2+7^3\right)\)
\(=7.\left(1+7+49+343\right)+...+7^{4k-3}.\left(1+7+49+343\right)\)
\(=7.400+...+7^{4k-3}.400=400.\left(7+...+7^{4k-3}\right)\)
\(=100.\left[4.\left(7+...+7^{4k-3}\right)\right]⋮100\)
=> đpcm
Nhóm các hạng tử của tổng đã cho theo dạng sau:
\(A=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+\left(7^5+7^6+7^7+7^8\right)+...+\left(7^{4k-3}+7^{4k-2}+7^{4k-1}+7^{4k}\right)\)
\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+7^4\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+...+7^{4k-4}\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\)
\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\left(1+7^4+7^8+...+7^{4k-4}\right)\)
\(=7\left(1+7+7^2+7^3\right)\left(1+7^4+7^8+...+7^{4k-4}\right)\)
\(A=7\left(1+7+49+343\right)\left(1+7^4+7^8+...+7^{4k-4}\right)=7.400.B\)
Vậy, \(A\) chia hết cho \(400\)
Ta có : \(n^3\left(n^2-7\right)^2-36n\)
\(=n[\left(n^3-7n\right)^2-36]\)
\(=n\left(n^3-7n-6\right)\left(n^3-7n+6\right)\)
\(=n[\left(n-3\right)\left(n^2+3n+2\right)][\left(n+3\right)\left(n^2-3n+2\right)]\)
\(=n\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n-2\right)\)
là tích của 7 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow n\left(n-3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n-2\right)⋮7\)
hay \(n^3\left(n^2-7\right)^2-36n⋮7\forall n\inℤ\)
b) Phân tích ra thừa số : 5040 = 24 . 32 . 5 . 7
Phân tích : A = n . [ n2 . ( n2 - 7 )2 - 36 ] = n . [ ( n3 - 7n )2 - 62 ]
= n . ( n3 - 7n - 6 ) . ( n3 - 7n + 6 )
Ta lại có : n3 - 7n - 6 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n - 3 )
n3 - 7n + 6 = ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n + 3 )
Do đó : A = ( n - 3 ) ( n - 2 ) ( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )
Ta thấy A là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên :
- tồn tại 1 bội số của 5 ( nên A chia hết cho 5 )
- tồn tại 1 bội số của 7 ( nên A chia hết cho 7 )
- tồn tại 2 bội số của 3 ( nên A chia hết cho 9 )
- tồn tại 3 bội số của 2, trong đó có 1 bội số của 4 ( nên A chia hết cho 16 )
A chia hết cho các số 5,7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040
Ta có: A = 20n + 16n - 3n - 1
Do n chẵn => n = 2k
Khi đó: A = 202k + 162k - 32k - 1
A = (202k - 1) + (256k - 9k)
Do 202k - 1 \(⋮\)(20 - 1) = 19
256k - 9k \(⋮\)(256 - 9) = 247 \(⋮\)19
=> A \(⋮\)19 (1)
Mặt khác, ta lại có:
A = 202k + 162k - 32k - 1 = (202k - 32k) + (256k - 1)
Do 202k - 32k \(⋮\)(20 - 3) = 17
256k - 1 \(⋮\)(256 - 1)= 255 \(⋮\)17
=> A \(⋮\)17 (2)
Mà (17; 19) = 1 => A \(⋮\)17.19 = 323 (đpcm)
Vì n chẵn
Đặt n = 2k (k \(\inℕ\))
Khi đó A = 20n + 16n - 3n - 1
= 202k + 162k - 32k - 1
= 400k + 256k - 9k - 1
= (400k - 1) + (256k - 9k)
= (400 - 1)(400k - 1 + 400k - 2 + ... + 1) + (256 - 9)(256k - 1 + 256k - 2.9 + ... + 9k - 1)
= 399(400k - 1 + 400k - 2 + ... + 1) + 247(256k - 1 + 256k - 2.9 + ... + 9k - 1)
= 19.21.(400k - 1 + 400k - 2 + ... + 1) + 19.13(256k - 1 + 256k - 2.9 + ... + 9k - 1)
= 19.(21.(400k - 1 + 400k - 2 + ... + 1) + 13(256k - 1 + 256k - 2.9 + ... + 9k - 1)) \(⋮\)19 (1)
Lại có A = 400k + 256k - 9k - 1
= (400k - 9k) + (256k - 1)
= (400 - 9)(400k - 1 + 400k - 2.9 + .... + 9k - 1) + (256 - 1)(256k - 1 + 256k - 2 + .... + 1)
= 391(400k - 1 + 400k - 2.9 + .... + 9k - 1) + 255(256k - 1 + 256k - 2 + .... + 1)
= 17.23(400k - 1 + 400k - 2.9 + .... + 9k - 1) + 17.15(256k - 1 + 256k - 2 + .... + 1)
= 17.(23(400k - 1 + 400k - 2.9 + .... + 9k - 1) + 15(256k - 1 + 256k - 2 + .... + 1)) \(⋮\)17 (2)
Lại có ƯCLN(17;19) = 1 (3)
Từ (1)(2)(3) => A \(⋮17.19=323\)(ĐPCM)
Ta có : \(A=7+7^2+7^3+...+7^{4k}\)
\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+...+\left(7^{4k-3}+7^{4k-2}+7^{4k-1}+7^{4k}\right)\)
\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)+...+7^{4k-4}\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\)
\(=\left(7+7^2+7^3+7^4\right)\left(1+...+7^{4k-4}\right)\)
\(=2800\left(1+...+7^{4k-4}\right)\)
\(=350.8\left(1+...+7^{4k-4}\right)⋮8\)
\(\Rightarrow A⋮8\left(1\right)\)
Ta lại có : \(A=7+7^2+7^3+...+7^{4k}\)
\(\Rightarrow7A=7^2+7^3+7^4+...+7^{4k+1}\)
\(\Rightarrow7A-A=\left(7^2+7^3+7^4+...+7^{4k+1}\right)-\left(7+7^2+7^3+....+7^{4k}\right)\)
hay \(6A=7^{4k+1}-7=7\left(7^{4k}-1\right)\)
Vì \(7\equiv2\left(mod5\right)\)\(\Rightarrow7^{4k}\equiv2^{4k}=16^k\left(mod5\right)\)
mà \(16\equiv1\left(mod5\right)\)\(\Rightarrow16^k\equiv1^k=1\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow7^{4k}\equiv1\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow7^{4k}-1⋮5\left(\cdot\right)\)
\(\Rightarrow7\left(7^{4k}-1\right)⋮5\)
\(\Rightarrow6A⋮5\)
Nhưng \(\left(6;5\right)=1\)
\(\Rightarrow A⋮5\left(2\right)\)
Ta lại có tiếp : \(7\equiv1\left(mod2\right)\)
\(\Rightarrow7^{4k}\equiv1^{4k}=1\left(mod2\right)\)
\(\Rightarrow7^{4k}-1⋮2\left(\cdot\cdot\right)\)
Từ \(\left(\cdot\right)\), \(\left(\cdot\cdot\right)\) và \(\left(2;5\right)=1\): \(\Rightarrow7^{4k}-1⋮10\)
\(\Rightarrow7\left(7^{4k}-1\right)⋮10\)
\(\Rightarrow6A⋮10\)
Nhưng \(\left(6;10\right)=1\)
\(\Rightarrow A⋮10\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\)và \(\left(5;8;10\right)=1\)
\(\Rightarrow A⋮400\left(đpcm\right)\)