Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có : \(x^2+y^2+z^2+x^2y^2z^2-4xyz+y^2z^2-2yz+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xyz+y^2z^2\right)+\left(x^2y^2z^2-2xyz+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-z\right)^2+\left(x-yz\right)^2+\left(xyz-1\right)^2\ge0\) (đúng \(\forall x;y;z\))
\(\Rightarrow\) (đpcm)
Bài 1:
Ta có:
\(x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2)\)
\(=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}(x+y)}{2}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq \frac{\sqrt{3}(y+z)}{2}; \sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \frac{\sqrt{3}(x+z)}{2}\)
Cộng theo vế các BĐT trên:
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Bài 2:
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$4(a^9+b^9)-(a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5)\geq 0$
$\Leftrightarrow 4(a+b)(a^8-a^7b+a^6b^2-a^5b^3+a^4b^4-a^3b^5+a^2b^6-ab^7+b^8)-(a+b)(a^8+a^3b^5+a^5b^3+b^8)\geq 0$
$\Leftrightarrow 4(a^8-a^7b+a^6b^2-a^5b^3+a^4b^4-a^3b^5+a^2b^6-ab^7+b^8)-(a^8+a^3b^5+a^5b^3+b^8)\geq 0$
$\Leftrightarrow 3a^8+3b^8+4a^6b^2+4a^2b^6+4a^4b^4-(4a^7b+4ab^7+5a^5b^3+5a^3b^5)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^2-ab+b^2)(3a^4+5a^3b+7a^2b^2+5ab^3+3b^4)\geq 0$
BĐT trên luôn đúng vì:
$(a-b)^2\geq 0, \forall a,b$
$a^2-ab+b^2=(a-\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2\geq 0, \forall a,b$
$3a^4+5a^3b+7a^2b^2+5ab^3+3b^4=3(a^4+b^4+2a^2b^2)+a^2b^2+5ab(a^2+b^2)$
$=3(a^2+b^2)^2+5ab(a^2+b^2)+a^2b^2$
$=(a^2+b^2)(3a^2+3b^2+5ab)+a^2b^2=(a^2+b^2)[3(a+\frac{5}{6}b)^2+\frac{11}{12}b^2]+a^2b^2\geq 0$ với mọi $a,b$
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ hoặc $a+b=0$
Đặt \(f\left(x\right)=25x^2+25y^2+9x^2+16y^2+144-72x-96y+24xy-72\)
\(=34x^2+41y^2-72x-96y+24xy+72\)
\(=34x^2+2\left(12y-36\right)x+41y^2-96y+72\)
\(a=34>0\)
\(\Delta'=\left(12y-36\right)^2-34\left(41y^2-96y+72\right)\)
\(=-1250y^2+2400y-1152=-2\left(25y-24\right)^2\le0;\forall y\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0;\forall x;y\)
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\\ \Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\ge0\\ \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\ge0\)
đây là BĐT cơ bản luôn đúng suy ra đpcm
Đúng như bạn viết vế trái là thế này:
\(\left(\frac{tan^2x}{1+tan^2x}\right)\left(\frac{1+cot^2x}{cotx}\right)=\left(\frac{1}{\frac{1}{tan^2x}+1}\right)\left(\frac{1+cot^2x}{cotx}\right)\)
\(=\left(\frac{1}{cot^2x+1}\right)\left(\frac{1+cot^2x}{cotx}\right)=\frac{1}{cotx}=tanx\)
Còn vế phải sẽ ra thế này:
\(\frac{1+tan^4x}{tan^2x+cot^2x}=\frac{1+tan^4x}{tan^2x+\frac{1}{tan^2x}}=\frac{tan^2x\left(1+tan^4x\right)}{tan^4x+1}=tan^2x\)
Hai vế ra kết quả khác nhau nên chắc bạn ghi sai đề :)
(\(a^2\)+\(b^2\)).(\(x^2\)+\(y^2\))>= (ax+by)^2
<=> \(a^2\).\(x^2\)+\(a^2\).\(y^2\)+\(b^2\).\(x^2\)+\(b^2\).\(y^2\)>=\(a^2\).\(x^2\)+2axby+\(b^2\).\(y^2\)
<=> \(a^2\).\(y^2\)- 2aybx+\(b^2\).\(x^2\)>=0
<=> (ay-bx)^2>=0 (luôn đúng)
vậy(\(a^2\)+\(b^2\)).(\(x^2\)+\(y^2\))>=(ax+by)^2
(a2a2+b2b2).(x2x2+y2y2)>= (ax+by)^2
<=> a2a2.x2x2+a2a2.y2y2+b2b2.x2x2+b2b2.y2y2>=a2a2.x2x2+2axby+b2b2.y2y2
<=> a2a2.y2y2- 2aybx+b2b2.x
Đặt \(f\left(x\right)=x^2y^4-4xy^3+2x^2y^2+4y^2+4xy+x^2\)
\(f\left(x\right)=\left(y^4+2y^2+1\right)x^2-4\left(y^3-y\right)x+4y^2\)
\(a=y^4+2y^2+1>0;\forall y\)
\(\Delta'=4\left(y^3-y\right)^2-4y^2\left(y^4+2y^2+1\right)\)
\(=4y^6+4y^2-8y^4-4y^6-8y^4-4y^2=-16y^4\le0;\forall y\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0\) ; \(\forall x;y\)