Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) Ta có:
\(y^2=\left(sinx\sqrt{cosx}+cosx\sqrt{sinx}\right)^2\le\left(sin^2x+cos^2x\right).\left(sinx+cosx\right)\)
(Áp dụng BĐT Bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow y^2\le sinx+cosx\Leftrightarrow y^2\le\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\le\sqrt{2}\) (Do \(sin\alpha\le1\)
\(\Rightarrow y\le\sqrt[4]{2}\)
Vậy max y = \(\sqrt[4]{2}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{cosx}}{sinx}=\dfrac{\sqrt{sinx}}{cosx}\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\) (k\(\in\)Z)
Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
1/ \(y=x^{-1}+\frac{2}{3}x^{-2}-\frac{2}{3}\Rightarrow y'=-\frac{1}{x^2}-\frac{4}{3x^3}\)
\(3x^3y'+3x+4=3x^3\left(-\frac{1}{x^2}-\frac{4}{3x^3}\right)+3x+4\)
\(=-3x-4+3x+4=0\) (đpcm)
2/ \(y'\le0\)
\(\Leftrightarrow3x^2-10x+7\le0\)
\(\Leftrightarrow1\le x\le\frac{7}{3}\)
\(y'=sinx+xcosx\)
\(y''=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx\)
\(y'''=-2sinx-sinx-xcosx=-3sinx-xcosx\)
\(y^{\left(4\right)}=-3cosx-cosx+xsinx=-4cosx+xsinx\)
\(y^{\left(5\right)}=4sinx+sinx+xcosx=5sinx+xcosx\)
a/
\(y'''+y'+2sinx=-3sinx-xcosx+sinx+xcosx+2sinx=0\)
b/ \(y''+y=2\Leftrightarrow2cosx-xsinx+xsinx=2\)
\(\Leftrightarrow cosx=1\Rightarrow x=k2\pi\)
c/ \(y^{\left(5\right)}\left(\frac{\pi}{2}\right)=5sin\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}.cos\frac{\pi}{2}=5\)
\(y=\frac{x-3}{x-4}\Rightarrow y'=\frac{-1}{\left(x-4\right)^2}\) ; \(y''=\frac{2}{\left(x-4\right)^3}\)
\(2\left(y'\right)^2=\frac{2}{\left(x-4\right)^4}\)
\(\left(y-1\right)y''=\left(\frac{x-3}{x-4}-1\right).\frac{2}{\left(x-4\right)^3}=\frac{1}{\left(x-4\right)}.\frac{2}{\left(x-4\right)^3}=\frac{2}{\left(x-4\right)^4}\)
\(\Rightarrow2\left(y'\right)^2=\left(y-1\right)y''\)
Đặt \(P=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{z}{\sqrt{1+z^2}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Do x,y,z là các số thực dương nên ta biến đổi \(P=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x^2};b=\frac{1}{y^2};c=\frac{1}{z^2}\left(a,b,c>0\right)\)thì \(xy+yz+zx=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}=1\)và \(P=\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}+a+b+c\)
Biến đổi biểu thức P=\(\left(\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{1}{2\sqrt{a+1}}+\frac{a+1}{16}\right)+\left(\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{1}{2\sqrt{b+1}}+\frac{b+1}{16}\right)\)\(+\left(\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{1}{2\sqrt{c+1}}+\frac{c+1}{16}\right)+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{b}-\frac{3}{16}\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cauchy ta có
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{a+1}{64\left(a+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{b+1}{64\left(b+1\right)}}+3\sqrt[3]{\frac{c+1}{64\left(c+1\right)}}+\frac{15a}{16}+\frac{15b}{16}+\frac{15c}{16}-\frac{3}{16}\)
\(=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\left(a+b+c\right)\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{abc}\)
Mặt khác ta có \(1=\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Leftrightarrow abc\ge27\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot3\sqrt[3]{27}=\frac{33}{16}+\frac{15}{16}\cdot9=\frac{21}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Ai giải đc cho 5 k và được kết bạn.(thực ra mình lớp 4,đọc tạp chí pi bố mik cũng không hiểu gì luôn.)
Bạn chú ý gõ đề bằng công thức toán (hộp biểu tượng $\sum$) trên thanh công cụ. Nhìn đề rối mắt thế này thật tình không ai muốn đọc chứ đừng nói đến giúp =)))
Lời giải:
\(y=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow y'=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{y}\)
\(\Rightarrow y''=\frac{(-x)'.y-(-x).y'}{y^2}=\frac{-y+xy'}{y^2}\)
Do đó:
\(y^2.y''-xy'+y=y^2.\frac{-y+xy'}{y^2}-xy'+y=(-y+xy')-xy'+y=0\)
Ta có đpcm.