Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$n>1\Rightarrow n\geq 2$
$n^4+4k^4=(n^2)^2+(2k^2)^2+2.n^2.2k^2-4n^2k^2$
$=(n^2+2k^2)^2-(2nk)^2=(n^2+2k^2-2nk)(n^2+2k^2+2nk)$
Ta thấy,
$n^2+2k^2-2nk=2(k-\frac{n}{2})^2+\frac{n^2}{2}\geq \frac{n^2}{2}\geq \frac{2^2}{2}=2$
$n^2+2k^2+2nk\geq n^2\geq 4$
Do đó $n^4+4k^4$ là tích của 2 số mà mỗi số đều $\geq 2$ nên $n^4+4k^4$ là hợp số.
Vì n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên sảy ra hai trường hợp
Th1: n là số chắn => n4 + 4n là , hợp số.
Th2: n số lẻ => n = 2k + 1
Thì n4 + 4n = n4 + 42k + 1 = (n2 + 22k + 1)2 - n2.22k + 2 = (n2 + 22k + 1 + n.2k + 1 ) (n2 + 22k + 1 - n.2k + 1 )
Ta có : n2 + 22k + 1 \(\ge2.n.2\frac{2k+1}{2}=n.2^{k+1}\)
Mà n là số lẻ và lờn hơn 1 nên n2 + 22k + 1 - n.2k + 1 > 1
Vậy n4 + 4n là hợp số
Có 2 trường hợp:
Th 1: \(n\)chẵn suy ra đương nhiên \(n^4+n^4\)là hợp số
Th 2: \(n\)lẻ suy ra \(n=2k+1\)
Suy ra:
\(n^4+n^4=n^4+n^{2n}=n^4+2.2^n+2^{2n}-2.2^n=\left(n^2+2^n\right)^2-2.2^{2k+1}=\left(n^2+2^n\right)^2-\left(2^k+1\right)^2\)
\(=\left(n^2+2^n-2^{k+1}\right)\left(n^2+2^n+2^{k+1}\right)\)
Suy ra là tích của 2 số nên nó là hợp số
Câu hỏi của Nghĩa Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath