Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=C_n^0+C_n^1.\dfrac{1}{n}+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=1+1+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}\)
\(=2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}>2\)
Mặt khác:
\(C_n^k.\dfrac{1}{n^k}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!.n^k}=\dfrac{\left(n-k+1\right)\left(n-k+2\right)...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}< \dfrac{n.n...n}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{n^k}{n^k}.\dfrac{1}{k!}=\dfrac{1}{k!}\)
\(< \dfrac{1}{k\left(k-1\right)}=\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}\)
Do đó:
\(C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< \dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow2+C_n^2.\dfrac{1}{n^2}+C_n^3.\dfrac{1}{n^3}+...+C_n^n.\dfrac{1}{n^n}< 2+1=3\) (đpcm)
a) Dễ thấy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
3k > 3k + 1
Nhân hai vế của (1) vơi 3, ta được:
3k + 1 > 9k + 3 <=> 3k + 1 > 3k + 4 + 6k -1.
Vì 6k - 1 > 0 nên
3k + 1 > 3k + 4 hay 3k + 1 > 3(k + 1) + 1.
tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Vậy 3n > 3n + 1 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
b) Với n = 2 thì vế trái bằng 8, vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức đúng với n = 2
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, tức là
2k + 1 > 2k + 3 (2)
Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n= k + 1, nghĩa là phải chứng minh
2k + 2 > 2(k + 1) + 3 <=> 2k + 2 > 2k + 5
Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với 2, ta được:
2k + 2 > 4k + 6 <=> 2k + 2 > 2k +5 + 2k + 1.
Vì 2k + 1> 0 nên 2k + 2 > 2k + 5
Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 2.
1.
Ta có:
\(\left(n+1\right)^2=n^2+2n+1>n\left(n+2\right)\)
Lấy logarit 2 vế:
\(ln\left(n+1\right)^2>ln\left[n\left(n+2\right)\right]\)
\(\Rightarrow2ln\left(n+1\right)>ln\left(n\right)+ln\left(n+2\right)\ge2\sqrt{ln\left(n\right).ln\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow ln^2\left(n+1\right)>ln\left(n\right).ln\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{ln\left(n+1\right)}{ln\left(n\right)}>\dfrac{ln\left(n+2\right)}{ln\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow log_n\left(n+1\right)>log_{n+1}\left(n+2\right)\)
2.
\(\int\dfrac{x^3-1}{x^4+x}dx=\int\dfrac{2x^3-\left(x^3+1\right)}{x\left(x^3+1\right)}dx=\int\dfrac{2x^2}{x^3+1}dx-\int\dfrac{1}{x}dx\)
\(=\dfrac{2}{3}\int\dfrac{d\left(x^3+1\right)}{x^3+1}-\int\dfrac{dx}{x}\)
\(=\dfrac{2}{3}ln\left|x^3+1\right|-ln\left|x\right|+C\)
Ta chứng minh bằng quy nạp:
- Với \(n=4\) BĐT trở thành \(3^3>4.6\) (đúng)
- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\)
Ta cần chứng minh BĐT cũng đúng với \(n=k+1\)
Hay \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
Thật vậy, ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3.k\left(k+2\right)=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3\)
Do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\Rightarrow2k^2+2k-3>0\)
\(\Rightarrow\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+2k-3>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
\(\Rightarrow3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)
- Với \(n=4\Rightarrow3^3>4.6\) (đúng)
- Giả sử BĐT đã cho đúng với \(n=k\ge4\) hay \(3^{k-1}>k\left(k+2\right)\)
- Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay: \(3^k>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\)
Thật vậy, do \(k\ge4\Rightarrow k-3>0\), ta có:
\(3^k=3.3^{k-1}>3k\left(k+2\right)=3k^2+6k=\left(k^2+4k+3\right)+\left(2k^2+2k-3\right)\)
\(=\left(k+1\right)\left(k+3\right)+2k^2+k+\left(k-3\right)>\left(k+1\right)\left(k+3\right)\) (đpcm)