Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\sqrt{z}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\Rightarrow z=x+y+2\sqrt{xy}\Rightarrow x+y-z=-2\sqrt{xy}\)
\(\sqrt{y}=\sqrt{z}-\sqrt{x}\Rightarrow y=x+z-2\sqrt{zx}\Rightarrow z+x-y=2\sqrt{zx}\)
\(\sqrt{x}=\sqrt{z}-\sqrt{y}\Rightarrow x=y+z-2\sqrt{yz}\Rightarrow y+z-x=2\sqrt{yz}\)
\(\frac{1}{y+z-x}+\frac{1}{z+x-y}+\frac{1}{x+y-z}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{zx}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}-\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}=0\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số không âm, ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}}\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\)
\(\frac{x}{y}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{z}{y}}\)
công vế vs vế vs vế :\(2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge2\left(\sqrt{\frac{x}{z}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x}{z}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{y}{z}}\le1\)
Đầu tiên CM BDT :
\(1+x^3+y^3\ge xy"x+y+z"\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy"x+y"\)" do \(xyz=1\)"
\(\Leftrightarrow"x+y""x^2+y^2-xy"-xy"x+y"\ge0\)
\(\Leftrightarrow"x+y""x-y"^2\ge0\)
BDT luôn đúng theo gt
\(\Rightarrow\sqrt{"1+x^3+y^3"}\ge\sqrt{xy"x+y+z"}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{"1+x^3+y^3}{xy}}\ge\sqrt{\frac{"x+y+z"}{xz}}\)
Tương tự
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{"1+z^3+y^3}{zy}}\ge\sqrt{\frac{"x+y+z"}{zy}}\)
\(\sqrt{\frac{"1+x^3+y^3"}{xz}}\ge\sqrt{\frac{"x+y+z"}{xz}}\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{"x+y+z"}.\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\)
AD BDT Cauchy cho các số > 0
\(x+y+z\ge3\). \(\sqrt[3]{xyz}=3\)
\(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}=3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}.3=3\sqrt{3}=VP\)
\(\Rightarrow VT\ge VP\)
\(\Rightarrow DPCM\)
Vậy Dấu \(= khi x=y=z=1\)
P/s: Thay dấu noặc kép thành ngọc đơn nha, Ko chắc đâu
Đề bài thiếu giả thiết \(x,y,z\) không đồng thời bằng nhau. Ví dụ lấy \(x=y=z=2\) sẽ thỏa mãn giả thiết nhưng không suy ra được \(xyz=1\).
Đầu tiên ta thấy \(x,y,z>0.\) Từ giả thiết ta có
\(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{y}}=\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{z}}\to\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{\sqrt{y}-\sqrt{z}}{\sqrt{yz}},\)
\(\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{z}}=\sqrt{z}+\frac{1}{\sqrt{x}}\to\sqrt{y}-\sqrt{z}=\frac{\sqrt{z}-\sqrt{x}}{\sqrt{zx}},\)
\(\sqrt{z}+\frac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{y}}\to\sqrt{z}-\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}.\)
Nhân ba đẳng thức lại cho ta \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)}{xyz}\).
Vì ba số không đồng thời bằng nhau nên ta suy ra các sẽ đôi một phân biệt (Vì nếu không chẳng hạn x=y thì y=z do đó cả ba số bằng nhau). Thành thử ta được \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}-\sqrt{x}\right)\ne0\) nên \(\frac{1}{xyz}=1\to xyz=1.\)