Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của I lay my love on you - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath dv
\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)^{\left(1\right)}\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5\right]\)
\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Vì n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
=> n(n-2)(n+2)(n - 1)(n + 1) + 5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5
=> \(n^5-n⋮5\)(2)
Vì n , (n-1) , (n+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên luôn tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 3 trong 3 số này
Mà ( 2 ; 3 ) = 1
=> n(n+1)(n-1) chia hết cho 2.3=6
=> n(n+1)(n-1)(n²+1 ) chia hết cho 6
Hay n^5 - n chia hết cho 6 (3)
Từ (2) , (3) và ( 5 ; 6 ) = 1
=> n^5 -n chia hết cho 5.6 = 30
Vậy n^5 - n chia hết cho 30
a) Ta có :
\(n^3\)- n = \(n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
Mới làm tới đây thôi
Với n = 1, ta có
1^3 + 9.1^2 + 2.1 = 12 chia hết cho 6
Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là:
k^3 + 9k^2 + 2k chia hết 6
Đặt k^3 + 9k^2 + 2k = 6Q
Ta sẽ CM khẳng định đúng với n = k + 1, ta có:
(k + 1)^3 + 9(k + 1)^2 + 2(k + 1)
= k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 9k^2 + 18k + 9 + 2k + 1
= (k^3 + 9k^2 + 2k) + 3k^2 + 18k + 3k + 12
= 6Q + (3k^2 + 21k) + 12
= 6Q + 3k(k + 7) + 12
= 6Q + 3k[(k + 1) + 6] + 12
= 6Q + 3k(k + 1) + 6.3k + 12
Vì k và k + 1 là 2 số nguyên liên tiếp nên:
k(k + 1) chia hết cho 2
=> 3k(k + 1) chia hết cho 3.2 = 6
=> 6Q + 3k(k + 1) + 6.3k + 12 chia hết cho 6
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta chứng minh được
n^3 + 9n^2 + 2n chia hết 6
chứng minh rằng n5−nchia hết cho 5, với mọi n là số nguyên
Giải:Ta có:n5-n=n(n4-1)=n(n2+1)(n2-1)
=n(n-1)(n+1)(n2+1)=n(n-1)(n+1)(n2-4+5)=n(n-1)(n+1)(n2-4)+5(n-1)n(n+1)
=\(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)\) chia hết cho 5
Vậy.........................
\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right).\left(n^2+1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right).\left(n^2-4+5\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right).\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
+) n(n-1)(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3
=> n(n-1)(n+1) \(⋮\)6
=> \(\left\{{}\begin{matrix}n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)⋮6\\5n\left(n+1\right)\left(n-1\right)⋮6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow n^5-n⋮6\) (1)
+) n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5
5n(n+1)(n-1) \(⋮5\)
=> n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)+5n(n+1)(n-1) \(⋮5\) => n^5-n\(⋮5\) (2)
từ 1 và 2 => n^5-n \(⋮6.5=30\)
n5 - n = n(n2 -1)2 = n(n2 - 1)(n2 + 1)
= n(n - 1)(n + 1)(n2 - 4 + 5)
= n(n - 1)(n + 1)(n2 - 4) + n(n - 1)(n + 1).5
= n(n - 1)(n + 1)(n + 2)(n - 2) + 5n(n - 1(n+ 1)
Vì n(n + 1)(n - 1)(n - 2)(n + 2) chia hết cho 5 và 6 nên chia hết cho 30
5n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 5 và 6 nên nó cũng chia hết cho 30
Vậy n5 - n luôn chia hết cho 30
Ta có : n(n+5) - (n-3)(n+2) = n2 + 5n - n2 - 2n + 3n + 6
= 6n + 6
= 6(n+1) \(⋮\) 6 với mọi n
Vậy n(n+5) - (n-3)(n+2) chia hết cho 6 với mọi n là số nguyên
\(n\left(n+5\right)-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\)
\(=n^2+5n-\left(n-3\right)\left(n+2\right)\)
\(=n^2+5n-n^2+3n+2n+6\)
\(=\left(n^2-n^2\right)-\left(5n-3n-2n\right)+6\)
\(=6⋮6\) (đpcm)
Ta có : (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2)2 – 22
= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)
= 5n(5n + 4)
Vì 5 5 nên 5n(5n + 4) 5 ∀n ∈ Z.
Ta có : \(\left(5n+2\right)^2-4\)
\(=\left(5n+2-2\right).\left(5n+2+2\right)\)
\(=5n\left(5n+4\right)\)
Vì \(5⋮5\) nên \(\left(5n+2\right)^2-4⋮5\forall n\in Z\)
Ta có:
\(2n^3+3n^2+n=n\left(2n^2+3n+1\right)=n\left(2n^2+2n+n+1\right)=n\left[2n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\right]\)
\(=n\left(n+1\right)\left(2n-2+3\right)=n\left(n+1\right)\left(2n-2\right)+3n\left(n+1\right)=2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)\)
Ta thấy:
\(n-1;n;n+1\) là 3 số nguyên liên tiếp (\(n\in Z\)) => tích của chúng chia hết cho 2 và 3. \(\Rightarrow2\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2.3=6\)
Và \(3n\left(n+1\right)⋮6\Rightarrow2n^3+3n^2+n⋮6\)