Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sử dụng BĐT: \(\left(x+y+z\right)^3\ge27xyz\Rightarrow\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3\ge xyz\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1+a+1+b+1+c}{3}\right)^3\ge\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\)
Ta có: \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
\(\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Cộng vế với vế:
\(1\ge\frac{1+\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
Dấu "=" 3 BĐT trên xảy ra khi \(a=b=c\)
Lại có:
\(1+\sqrt[3]{abc}\ge2\sqrt{\sqrt[3]{abc}}\Rightarrow\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\ge\left(2\sqrt{\sqrt[3]{abc}}\right)^3=8\sqrt{abc}\)Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Uầy cái này là bổ đề huyền thoại của lớp 9 rồi :333333333
BĐT cần CM <=> \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
<=> \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+8abc\)
<=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Mà theo CAUCHY 2 số thì \(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân lại => \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
=> Ta có điều phải chứng minh.
Áp dụng BĐT AM-GM với 3 số a, b, c ta luôn có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\), dấu bằng xảy ra khi a = b.
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\), dấu bằng xảy ra khi b = c.
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\) , dấu bằng xảy ra khi a = c.
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}=8abc\)
lại có \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\left(\frac{1}{8}+1\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\frac{9}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right)\)
Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c
Đặt \(x=a+b+c;y=ab+bc+ac;z=abc\)
Suy ra : \(2\left(1+abc\right)+\sqrt{2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}\ge\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(1+z\right)+\sqrt{2\left(x^2+y^2+z^2-2xz-2y+1\right)}\ge x+y+z+1\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2-2xz-2y+1\right)\ge\left(x+y-z-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2x+2yz-2y-2z+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-z+1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Lời giải:
Đầu tiên ta sẽ chứng minh $(a^3+b^3)(a^5+b^5)\leq 2(a^8+b^8)(*)$
Thật vậy, $(*)\Leftrightarrow a^3b^5+a^5b^3\leq a^8+b^8$
$\Leftrightarrow a^5(a^3-b^3)-b^5(a^3-b^3)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^5-b^5)(a^3-b^3)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2(a^4+...+b^4)(a^2+ab+b^2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a,b$
Do đó $(*)$ đúng
Nhân cả 2 vế của $(*)$ với $a+b\geq 0$ suy ra:
$(a+b)(a^3+b^3)(a^5+b^5)\leq 2(a+b)(a^8+b^8)$
Ta cần chứng minh $2(a+b)(a^8+b^8)\leq 4(a^9+b^9)$
$\Leftrightarrow (a+b)(a^8+b^8)\leq 2(a^9+b^9)$
$\Leftrightarrow a^9+b^9-a^8b-ab^8\geq 0$
$\Leftrightarrow a^8(a-b)-b^8(a-b)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^8-b^8)(a-b)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^4-b^4)(a^4+b^4)(a-b)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^4+b^4)(a-b)^2(a+b)(a^2+b^2)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $a+b\geq 0$
Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a+b=0$ hoặc $a=b$
ta có
- ( /a/+/b/)^2=/a/^2+2/a/ /b/+/b/^2=a^2+2/ab/+b^2
- /a+b/^2=a^2+2ab+b^2
do 2/ab/>= 2ab (dấu = xảy ra khi ab>=0)
=>a^+b^2+2/ab/>2=a^2+b^2+2ab=> đpcm
BĐT cần C/m
\(\Leftrightarrow\left(|a|+|b|\right)^2\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2|ab|+b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow|ab|\ge ab\)\(\RightarrowĐPCm\)