TT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
10 tháng 9 2018
\(1.\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(2.\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=0\)
\(3.\left(\frac{a}{2}-b\right)^2+\left(\frac{a}{2}-c\right)^2+\left(\frac{a}{2}-d\right)^2+\left(\frac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{2}=b=c=d=e\)
4. Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(c-d\right)^2\ge0\Rightarrow c^2+d^2\ge2cd\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ab+2cd\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge3ab+3cd\)
Ta lại có:\(\left(\sqrt{ab}-\sqrt{cd}\right)^2\ge0\Rightarrow ab+cd\ge2\sqrt{abcd}=2\)
\(\Rightarrow3\left(ab+cd\right)\ge6\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge3\left(ab+cd\right)\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\ab=cd\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d\)
LD
29 tháng 12 2018
a.
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+a^3b+b^4\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+a^3b\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(*)
Mà \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+2\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}b+\dfrac{b^2}{4}\right)+\dfrac{3b^2}{4}=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\)
Suy ra (*) đúng => đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a = b
LD
29 tháng 12 2018
b.
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow3a^4+3b^4+3c^4\ge a^4+ab^3+ac^3+a^3b+b^4+bc^3+a^3c+b^3c+c^4\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4\ge ab^3+a^3b+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4\right)+\left(b^4+c^4\right)+\left(c^4+a^4\right)\ge\left(a^3b+ab^3\right)+\left(b^3c+bc^3\right)+\left(c^3a+ca^3\right)\)
Theo câu a. thì điều này đúng
Dấu "=" khi a=b=c
F
27 tháng 9 2020
a,Ta có:\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(a^2+c^2\ge2ac\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
Cộng theo từng về 3 bđt trên ta đc:
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Xảy ra dấu đt khi \(a=b=c\)
b,\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)(chia cả 2 vế cho \(a+b>0\))
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)
Xảy ra dấu đẳng thức khi \(a=b\)
c,\(a^2+b^2+c^2\ge a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+b^2+c^2\ge0\forall a,b,c\)
Xảy ra đẳng thức khi \(a=b=c=0\)
27 tháng 9 2020
Phần b mình tặng thêm một cách giải không dùng biến đổi tương đương:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
Dấu bằng tại a=b
TN
29 tháng 11 2016
1)Áp dụng Bđt Am-Gm \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
2)Áp dụng Am-Gm \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
=>ĐPcm
3)(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)
=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\(\ge\)3ab+3bc+3ca
=>a2+b2+c2-ab-bc-ca\(\ge\)0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)\(\ge\)0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge\)0
4)đề đúng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
23 tháng 9 2018
c) Áp dụng BĐT Cauchy-schwars ta có:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+b\right)^2}{a+b+c}=a+b+c\)
đpcm
22 tháng 4 2020
a) \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
<=> \(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
Ta có: \(a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}=\frac{a^2+b^2}{2}.\left(a^2+b^2\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)\) với mọi a, b
Vậy \(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b
b) \(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)(1)
<=> \(2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge ab^3+ac^3+ba^3+bc^3+ca^3+cb^3\)
<=> \(\left(a^4+b^4\right)+\left(b^4+c^4\right)+\left(c^4+a^4\right)\ge ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ac\left(a^2+c^2\right)\) đúng áp dụng câu a
Vậy (1) đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c.
31 tháng 10 2016
Áp dụng BĐT AM-GM dạng mẫu số được
\(\frac{a^4}{b\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{c\left(c+a\right)}+\frac{c^4}{a\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ac\right)}\)
Ta có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (dễ dàng chứng minh được)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge2\left(ab+bc+ac\right)\) và \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(ab+bc+ac\right)^2\)
Do vậy \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{ab+bc+ac}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c > 0
22 tháng 6 2018
\(\dfrac{1}{ab}\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow4ab\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4ab\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow0\ge a^2+2ab+b^2-4ab\)
\(\Leftrightarrow0\ge a^2-2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow0\ge\left(a-b\right)^2\)
Biểu thức này đúng \(\forall a,b< 0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)+b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Dấu ">" xảy ra khi
\(\left(a^2+2ab\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}b^2\right)+\dfrac{3}{4}b^2>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+\dfrac{1}{2}b\right)^2+\dfrac{3}{4}b^2>0\)
@Toyama Kazuha Giải kiểu gì vậy bạn?
\(a^4+b^4\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\dfrac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)\)
\("="\Leftrightarrow a=b\)