Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
n3 + 11n = n3 - n + 12n = n(n2 - 1) + 12n= (n - 1)n(n + 1) + 12n
Vì n là số nguyên nên (n - 1)n(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên phải chia hết cho 6; mà 12 lại chia hết cho 6 => 12n cũng chia hết cho 6.
Vậy (n - 1)n(n + 1) + 12n chia hết cho 6 => n3 + 11n chia hết cho 6 (đpcm)
n 3 + 11n = n 3 ‐ n + 12n = n﴾n 2 ‐ 1﴿ + 12n= ﴾n ‐ 1﴿n﴾n + 1﴿ + 12n
Vì n là số nguyên nên ﴾n ‐ 1﴿n﴾n + 1﴿ là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên phải chia hết cho 6
;mà 12 lại chia hết cho 6 => 12n cũng chia hết cho 6
Vậy ﴾n ‐ 1﴿n﴾n + 1﴿ + 12n chia hết cho 6 => n 3 + 11n chia hết cho 6 ﴾đpcm﴿
n(n+1)()2n+1) = n(n+1)(n+2 + n - 1) = n(n+1)(n+2) + (n-1).n.(n+1)
n(n+1)(n+2) ; (n-1).n.(n+1) đều là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên các tích đó chia hết 6
=> n(n+1)(n+2) + (n-1).n.(n+1) chia hết cho 6
=> n(n+1)()2n+1) chia hết cho 6
một số không chia hết cho 3 có hai dạng \(\orbr{\begin{cases}n=3k+1\left(1\right)\\n=3k+2\left(2\right)\end{cases}}\)
Xét từng cái của (1)
\(\left(1\right)n=3k+1\)
\(\left(1\right)n=3k+1\Rightarrow n^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k+1=3\left(k^2+2k\right)+1=3m+1\)chia 3 dư 1 => đúng
\(\left(2\right)n=3k+2\Rightarrow n^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+12k+4=3\left(k^2+4k+1\right)+1=3m+1\) chia 3 dư 1
(1)&(2) => mọi n không chia hết cho 3 thì n^2 chia 3 dư 1.
b)Áp dụng đáp số câu (a) : P n tố >3=> p không chia hết cho 3 (nếu chia hết thì ko nguyên tố)=>p^2=3k+1
=>A= P^2+2003=(3k+1)+2003=3k+2004
A=\(\orbr{\begin{cases}k=2n..\left(k.la.so.chăn\right)\Rightarrow3k+2004=3.2.n+2004\\k=2n+1\Rightarrow3k+2004=3\left(2k+1\right)+2004=6k+2007\end{cases}}\)
2004 & 2007 cùng chia hết 3 =>A luôn chia hết cho 3=> A là hợp số
Chứng minh rằng nếu có n số tự nhiên có tích bằng n và có tổng bằng 2012 thì n chia hết cho 4.
Lời giải. Xét tính chẵn lẻ của n. Nếu n là số lẻ thì tích n số tự nhiên bằng n lẻ nên tất cả n số đều là
các số lẻ. Do đó tổng của n là số lẻ, khác 2012. Nếu n là số chữ thì suy ra ít nhất một trong n số phải là
số chẵn. Xét các trường hợp sau
Nếu trong n số chỉ có đúng một số chẵn thì n − 1 số còn lại đều là số lẻ. Tổng của n − 1 số lẻ là một số
lẻ, kết hợp với số chẵn duy nhất thì tổng của n số đã cho là một số lẻ và không thể bằng 2012 (loại khả
năng này).
Nếu có ít nhất hai số chẵn trong n số thì tích của hai số này phải chia hết cho 4. Theo giải thiết, tích của
n số tự nhiên bằng n nên suy ra n chia hết cho 4.
\(\frac{1}{1.2}+\frac{2}{2.4}+\frac{3}{4.5}+.........+\frac{n}{\left(T_{n-1}+1\right)\left(T_{n-1}+1+n\right)}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+......+\frac{1}{T_{n-1}+1}-\frac{1}{T_{n-1}+1+n}\)
\(1-\frac{1}{T_{n-1}+1+n}=\frac{T_{n-1}+1+n-1}{T_{n-1}+1+n}=\frac{T_{n-1}+n}{T_{n-1}+1+n}\)
Chú ý : Ai không thách thức cấp độ 1 ( vùng không tô đậm ) hoặc cấp độ 2 ( vùng tô đậm ) thì không được nhận k.
AI thách thức cấp độ 1 thì chỉ khi giải chính xác mới được nhận k.
Còn ai thách thức cấp độ 2 thì chỉ khi giải chính xác mới được nhận k và được công nhận là GOD luôn !
Ta có : \(1^n+2^n+3^n+4^n=10^n\) chia hết cho 5
Cũng biết, 5 chia hết cho các số có tận cùng = 0;5 .
Mà \(10^n\)có số tận cùng là 0 (vd: 105=100 000 ; 106=10 00 000..v...v) và n không chia hết cho 4(\(n\in N\)) nên sẽ chia hết cho 5
Vậy \(1^n+2^n+3^n+4^n\)chia hết cho 5 .
+) Với n=4k+3 hoặc n=4k+1 => 1n+2n+3n+4n lẻ. k \(\in\)|N.
1n+2n+3n+4n đồng đư với 1n+2n+(-2)n+(-1)n (mod 5) hay 1n+2n+3n+4n đồng đư với 1n+2n-2n-1n=0 (mod 5)
=> 1n+2n+3n+4n chia hết cho 5.
+) Với n=4k+2, k\(\in\)|N.
1+24k+2+34k+2+44k+2=1+22.24k+32.34k+42.44k
=1+4.16k+9.81k+16.256k
đồng dư với : 1.1+4.1+9.1+16.1=30 (mod 5)
=> 1n+2n+3n+4n chia hết cho 5.
+) Với n=4k, k\(\in\)|N.
1n+2n+3n+4n = 1+24k+34k+44k
= 1+16k+81k+16k
đồng dư với: 1+1+1+1=4 (mod 5)
=> 1n+2n+3n+4n không chia hết cho 5.
=> ĐPCM