Question

[Nguyễn Gia Linh]

Chứng minh rằng 

A= 75.( 4¹⁹⁹⁹+4¹⁹⁹⁸+...+4²+4+1)+25 là số chia hết cho 100

Answer 1

[Hoàng Phúc]

đặt \(S=1+4+4^2+......+4^{1999}\)

\(\Rightarrow4S=4+4^2+4^3+....+4^{2000}\)

\(\Rightarrow4S-S=\left(4+4^2+4^3+....+4^{2000}\right)-\left(1+4+4^2+.....+4^{1999}\right)\)

\(\Rightarrow3S=4^{2000}-1\Rightarrow S=\frac{4^{2000}-1}{3}\)

Khi đó \(A=75.S=75.\frac{4^{2000}-1}{3}=\frac{75.\left(4^{2000}-1\right)}{3}=\frac{75}{3}.\left(4^{2000}-1\right)=25.\left(4^{2000}-1\right)=25.4^{2000}-25\)

Ta có: 4²⁰⁰⁰-1=(4⁴)⁵⁰⁰-1=(...6)-1=....5

=>25.4²⁰⁰⁰-25=25.(....5)-25=(...5)-25=....0 chia hết cho 100

Vậy ta có điều phải chứng minh
 

Answer 2

[SKT_ Lạnh _ Lùng]

75 chia hết cho 25.

4²⁰⁰⁷ + ... + 4 + 1 chia 4 dư 1 hay không chia hết cho 4

=> 75(4²⁰⁰⁷ + ... + 4 + 1) không chia hết cho 100.