Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a(a−x)2+b(b−x)2 (1)
=(a+b)x2−2x(a2+b2)+a3+b3
+) a+b=0⇒pt(1)có một nghiệm⇒|a|=|b|
+) a+b≠0
Xét Δ'=a4+2a2b2+b4−a4−ab3−a3b−b4
=2a2b2−ab3−a3b=ab(a−b)2
PT(1) có 1 nghiệm khi và chỉ khi : Δ'=0⇒a−b=0⇒|a|=|b|
Thực hiện khai triển , PT đã cho tương đương với
\(\left(a+b\right)x^2-2x\left(a^2+b^2\right)+\left(a^3+b^3\right)=0\left(^∗\right)\)
Nếu \(a+b=0\) thì
\(a^2+b^2\ne0\) với mọi a , b \(\ne0\) . PT (*) có nghiệm duy nhất \(x=\frac{a^3+b^3}{2\left(a^2+b^2\right)}\) ( thỏa mãn yêu cầu )
\(a+b=0\Rightarrow a=-b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(1\right)\)
Nếu \(a+b\ne0\)
PT (*) là PT bậc 2 ẩn x có nghiệm duy nhất khi mà
\(\Delta'=\left(a^2+b^2\right)^2-\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2-ab^3-a^3b=0\)
\(\Leftrightarrow-ab\left(a-b\right)^2=0\)
Vì \(a,b\ne0\Rightarrow ab\ne0\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\Rightarrow a=b\Rightarrow\left|a\right|=\left|b\right|\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có đpcm
Chúc bạn học tốt !!!
b/ \(\hept{\begin{cases}x^2+px+1=0\\x^2+qx+1=0\end{cases}}\)
Theo vi et ta có
\(\hept{\begin{cases}a+b=-p\\ab=1\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}c+d=-q\\cd=1\end{cases}}\)
Ta có: \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-d\right)\left(b-d\right)\)
\(=\left(c^2-c\left(a+b\right)+ab\right)\left(d^2-d\left(a+b\right)+ab\right)\)
\(=\left(c^2+cp+1\right)\left(d^2+dp+1\right)\)
\(=cdp^2+pcd\left(c+d\right)+p\left(c+d\right)+c^2d^2+\left(c+d\right)^2-2cd+1\)
\(=p^2-pq-pq+1+q^2-2+1\)
\(=p^2-2pq+q^2=\left(p-q\right)^2\)
a/ \(\hept{\begin{cases}x^2+2mx+mn-1=0\left(1\right)\\x^2-2nx+m+n=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta có: \(\Delta'_1+\Delta'_2=\left(m^2-mn+1\right)+\left(n^2-m-n\right)\)
\(=m^2+n^2-mn-m-n+1\)
\(=\left(\frac{m^2}{2}-mn+\frac{n^2}{2}\right)+\left(\frac{m^2}{2}-m+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{n^2}{2}-n+\frac{1}{2}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\left(m-n\right)^2+\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\right)\ge0\)
Vậy có 1 trong 2 phương trình có nghiệm
Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)
ta có: \(\Delta_1+\Delta_2=a^2-b+b^2-a=\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\)
\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}-\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\)
Vì \(a+b\ge2\) nên \(\left(a+b\right)\left(a+b-2\right)\ge0\)
=> \(\Delta_1+\Delta_2\ge0\)
=> Trong 2 số \(\Delta_1;\Delta_2\) có ít nhất 1 số không âm
=> Trong hai phương trình: \(\left(x^2+2ax+b\right);\left(x^2+2bx+a\right)\) có ít nhất 1 phương trình có nghiệm
=> \(\left(x^2+2ax+b\right)\left(x^2+2bx+a\right)\) luôn có nghiệm
Trình bày khác cô Chi chút ạ =))
Xét \(\Delta_1=a^2-b;\Delta_2=b^2-a\)
Ta có:\(\Delta_1+\Delta_2=a^2-a+b^2-b\ge a^2-a+b^2-b+2-a-b\)
\(=a^2-2a+1+b^2-2b+1=\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
Khi đó ít nhất một trong \(\Delta_1;\Delta_2\) có nghiệm => đpcm