Question

[VICTORY_Nguyễn Võ Long Thạch]

Chứng minh rằng: n⁵ -n chia hết cho 30 với n\(\in\)N

Giúp mình với

Answer 1

[Hoàng Phúc]

 \(n^5-n=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Ta có: \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 6 vì là tích của 3 số nguyên liên tiếp (bn tự c/m nó chia hết cho 2 và 3)

Mà (6;5)=1

=>\(5\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) chia hết cho 30 (1)

Lại có: \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 30 vì là tích của 5 số nguyên liên tiếp (bn tự c/m nó chia hết cho 5 và 6)  (2)

Từ (1);(2) suy ra đpcm

Answer 2

[VICTORY_ Như]

Ta có: n^5 - n = n (n^4 -1 ) 
=n (n^2-1)(n^2+1) 
=n(n-1)(n+1)(n^2 - 4 +5) 
=n(n-1)(n+1)(n^2-4) + n(n-1)(n+1)5 
= (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 
Vì (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) chia hết cho 30 
và n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30 
Nên (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+ n(n-1)(n+1)5 chia hết cho 30 
hay n^5-n chia hết cho 30