Question

[Hoàng Trịnh MInh Vi]

chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo với nhau thì tổng bình phương hai cạnh đối này bằng tổng bình phương hai cạnh đối kia

Answer 1

[Nguyễn Nam Cao]

Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau thì tổng bình phương hai cạnh đối này bằng tổng bình phương hi cạnh đối kia. 
Gọi giao của AC và BD là O , do hai đường chéo vuông góc 
=> các tam giác : OAB, OBC, OCD, ODA là các tam giác vuông tại O 
xét tam giác OAB có AB^2 = OA^2 + OB^2 (1) 
xét tam giác ODC có DC^2 = OD^2 + OC^2 (2) 
xét tam giác OAD có AD^2 = OA^2 + OD^2 (3) 
xét tam giác OBC có BC^2 = OC^2 + OB^2 (4) 
từ (1) và (2)=> AB^2 + CD^2 = OA^2 +OB^2 +OC^2 +OD^2 (5) 
từ (3) và (4)=> BC^2 + AD^2 = OA^2 +OB^2 +OC^2 +OD^2 (6) 
từ (5) và (6) => AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 (điều phải c/m ) 

Answer 2

[Nguyễn Nam Cao]

Tam giác AID vuông tại I, áp dụng định lí Pytago, ta có A{D^2} = A{I^2} + I{D^2}  (1) 
Tam giác AID vuông tại I, áp dụng định lí Pytago, ta có A{B^2} = A{I^2} + I{B^2}  (2) 
Tam giác AID vuông tại I, áp dụng định lí Pytago, ta có C{D^2} = C{I^2} + I{D^2}  (3) 
Tam giác AID vuông tại I, áp dụng định lí Pytago, ta có B{C^2} = B{I^2} + I{C^2}  (4) 
Vế cộng vế (1) và (4), ta được: A{D^2} + B{C^2} = 2\left( {I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + I{D^2}} \right) (5) 
Vế cộng vế (2) và (3), ta được: A{B^2} + C{D^2} = 2\left( {I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + I{D^2}} \right) (6) 
Từ (5) và (6), ta suy ra A{D^2} + B{C^2} = A{B^2} + C{D^2}  (đpcm)