Question

[OkeyMan]

Chứng minh rằng: nếu a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác thì 2a²b² + 2b²c² + 2a²c² - a⁴ - b⁴ - c⁴ >0

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Xét:

\(a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\)

\(=(a^4+b^4+2a^2b^2)+c^4-2c^2(b^2+a^2)-4a^2b^2\)

\(=(a^2+b^2)^2+(c^2)^2-2c^2(a^2+b^2)-(2ab)^2\)

\(=(a^2+b^2-c^2)^2-(2ab)^2=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)\)

\(=[(a-b)^2-c^2][(a+b)^2-c^2]\)

\(=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)\)

\(\Rightarrow 2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4=(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)\)

Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên $b+c-a,a-b+c,a+b-c>0$ theo BĐT tam giác. Mặt khác hiển nhiên $a+b+c>0$

Do đó:

\(2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2-a^4-b^4-c^4=(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)>0\)

Ta có đpcm.