Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1.CMR:\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}=2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2\ge2+2=4\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(a=b\)
\(2.\\ a.CMR:a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc\ge0\forall a,b,c\)
\(a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc=a^2-2ab+b^2+c^2-2bc+b^2=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(a=b=c\)
\(b.CMR:a^2+b^2-4a+6b+13\ge0\forall a,b\)
\(a^2+b^2-4a+6b+13=\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2+6b+9\right)=\left(a-2\right)^2+\left(b+9\right)^2\ge0\forall a,b\)
Dấu '' = '' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=-9\end{matrix}\right.\)
a)\(a^2+ab+b^2=a^2+\dfrac{2ab}{2}+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\)
\(=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\forall a,b\)
b)\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\forall a,b\)
Lời giải:
Ta có:
$a^3+b^3-ab(a+b)=(a-b)^2(a+b)\geq 0$ với mọi $a\geq 0; b\geq 0$
$\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b$
1. Không dịch được đề
2. \(\left(m+2\right)x^2-6x+1\le0\) \(\forall x\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2< 0\\\Delta'=9-\left(m+2\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -2\\m\ge7\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Không tồn tại m thỏa mãn
3. \(P=\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{4ab}+\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{3\left(a^2+b^2\right)}{4ab}\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{ab\left(a^2+b^2\right)}{4ab\left(a^2+b^2\right)}}+\frac{6ab}{4ab}=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Vì 2ab < (a2 + b2) , 2ac < (a2 + c2) , 2bc < (b2 + c2)
Nên (a + b + c)2 < a2 + b2 + c2 + (a2 + b2) + (a2 + c2) + (b2 + c2) = 3(a2 + b2 + c2)
\(P=\frac{b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2}{abc}\Rightarrow P^2=\frac{b^4c^4+c^4a^4+a^4b^4+2a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2b^2c^2}\)
\(P^2\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=\frac{3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=3\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(BĐT\Leftrightarrow\sum\dfrac{2bc}{1+a^2}\le\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\sum\dfrac{-2bc}{2a^2+b^2+c^2}\ge-\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{2a^2+\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{3}{2}\)
ÁP dụng BĐT cauchy-schwarz:
\(\sum\dfrac{2a^2}{2a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
và \(\sum\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}=\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{\left(a-c\right)^2}{2b^2+a^2+c^2}\ge\dfrac{4\left(a-c\right)^2}{4\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{\left(a-c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)
( Lưu ý : \(\left(c-a\right)^2=\left(a-c\right)^2\)) (1)
Do vậy cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2+2\left(a-c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)^2+4\left(a-c\right)^2\ge6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+bc-ac-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) (*)
(*) không phải luôn đúng, tuy nhiên ta có thể ép cho nó đúng .
bằng cách đáng giá tương tự BĐT (1) :
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\left(b-a\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2b^2+a^2+c^2}\ge\dfrac{\left(b-a\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\\\dfrac{\left(a-b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}+\dfrac{\left(c-b\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(c-a\right)^2}{2b^2+a^2+c^2}\ge\dfrac{\left(c-b\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\end{matrix}\right.\)
ta thu được BĐT cần chứng minh tương đương \(\left\{{}\begin{matrix}\left(b-c\right)\left(c-a\right)\ge0\left(3\right)\\\left(c-a\right)\left(a-b\right)\ge0\left(4\right)\end{matrix}\right.\)
Dễ thấy \(\left(a-b\right)\left(b-c\right).\left(b-c\right)\left(c-a\right).\left(c-a\right)\left(a-b\right)=\left[\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]^2\ge0\)
tích của chúng là 1 số không âm nên có ít nhất 1 số không âm .Chứng tỏ có ít nhất 1 BĐT đúng
Do đó ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
không cần đk là a,b,c là số thực cũng được @@
Sử dụng bất đẳng thức phụ \(x^2+y^2\ge2xy\)
chứng minh : \(x^2+y^2\ge2xy< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*
Áp dụng vào bài toán ta được :
\(2.LHS\ge ab+bc+ca+ab+bc+ca=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(< =>LHS\ge ab+bc+ca\)
Dấu = xảy ra \(< =>a=b=c\)