Question

[Nguyen Dinh Khanh]

Chứng minh rằng 2√2+√3 là số vô tỷ các bạn giúp mình với

Answer 1

[Mei Shine]

Đặt \(A=2\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

Giả sử A là một số hữu tỉ\(\Rightarrow\) A = \(\dfrac{x}{y}\) (tối giản, \(y\ne0\))

\(\Rightarrow2\sqrt{2}+\sqrt{3}=\dfrac{x}{y}\)\(\Rightarrow\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=\dfrac{x^2}{y^2}\Leftrightarrow11+4\sqrt{6}=\dfrac{x^2}{y^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y^2}-11=4\sqrt{6}\)

Ta thấy: \(\dfrac{x^2}{y^2};11\) là các số hữu tỉ nên \(\dfrac{x^2}{y^2}-11\) là số hữu tỉ

Mặt khác: \(4\sqrt{6}\) là số vô tỉ

=> \(\dfrac{x^2}{y^2}-11\ne4\sqrt{6}\)

=> Giả sử là sai

=> A là một số vô tỉ

=> \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ