Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cần điều kiện \(a;b;c\) có ít nhất 2 số khác 0
- Với \(a=0\Rightarrow x=-\frac{c}{b}\) mà \(6b+19c=0\Rightarrow-\frac{c}{b}=\frac{6}{19}\Rightarrow x=\frac{6}{19}>0\)
- Với \(c=0\Rightarrow2a+6b=0\Rightarrow-\frac{b}{a}=\frac{1}{3}\)
\(ax^2+bx=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\frac{b}{a}=\frac{1}{3}>0\end{matrix}\right.\)
- Với \(abc\ne0\)
\(2a+6b+19c=0\Rightarrow2\left(a+3b\right)=-19c\Rightarrow a+3b=-\frac{19}{2}c\)
Đặt \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
Ta có: \(f\left(0\right)=c\) ; \(f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{a}{9}+\frac{b}{3}+c\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(\frac{1}{3}\right)=c\left(\frac{a}{9}+\frac{b}{3}+c\right)=\frac{1}{9}c\left(a+3b+9c\right)\)
\(=\frac{1}{9}c\left(-\frac{19}{2}c+9c\right)=-\frac{1}{18}c^2< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;\frac{1}{3}\right)\)
Vậy phương trình luôn có một nghiệm dương
Tham khảo:
Xét hàm số g(x) = f(x) − f(x + 0,5)
Ta có
g(0) = f(0) − f(0 + 0,5) = f(0) − f(0,5)
g(0,5) = f(0,5) − f(0,5 + 0,5) = f(0,5) − f(1) = f(0,5) − f(0)
(vì theo giả thiết f(0) = f(1)).
Do đó,
\(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)
a,b,c,d lập thành cấp số nhân công bội q \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}q\ne\left\{0,1\right\}\\a\ne0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=a.q\\c=aq^2\\d=aq^3\end{matrix}\right.\)
\(f\left(x\right)=a.x^3+a.q.x^2+a.q^2.x+a.q^3\)(1)
\(f\left(x\right)=a\left[.x^3+q.x^2+q^2.x+q^3\right]\)
\(f\left(x\right)=a.\left[.x^2\left(x+q\right)+q^2\left(.x+q\right)\right]\)
\(f\left(x\right)=a.\left(x+q\right)\left(x^2+q^2\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}a,q\ne0\\f\left(x\right)=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x=-q\) là nghiệm duy nhất
Ta có \(b=\dfrac{-6c-5a}{4}\).
Ta cần cm \(b^2-4ac\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\left(6c+5a\right)^2}{16}\ge4ac\Leftrightarrow36c^2+25a^2-4ac\ge0\Leftrightarrow\left(4a-c\right)^2+35c^2+9a^2\ge0\).(luôn đúng)