K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
2 tháng 12 2016
a) Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2 + 2014 = k2 → k2 – n2 = 2014
=> (k – n)(k + n) = 2014 (*)
Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn
Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4
Mà 2014 không chia hết cho 4
Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.
Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương
b) Với 2 số a, b dương:
Xét: a2 + b2 – ab ≤ 1
<=> (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)
<=> a3 + b3 ≤ a + b
<=> (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5)
<=> a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6
<=> 2a3b3 ≤ ab5 + a5b
<=> ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ 0
<=> ab(a2 - b2) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .
Vậy: a2 + b2 ≤ 1 + ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
KT
1
2 tháng 5 2020
Để chứng minh n2+n+1 không thể là số chính phương ta sẽ chứng minh n2+n+1 không chia hết cho 9
Giả sử n2+n+1 chia hết cho 9
<=> n2+n+1=9k (k thuộc N)
<=> n2+n+1-9k=0 (1)
\(\Delta=1^2-4\left(1-9k\right)=36k-3=3\left(12k-1\right)\)
Ta thấy \(\Delta⋮3\)và không chia hế cho hết cho 9 nên không là số chính phương => pt (1) trên không thể nghiệm nguyên
Vậy n2+n+1 không chia hết cho 9 hay n2+n+1 không là số chính phương
TN
0
NN
0
PN
3 tháng 4 2016
Để giải được bài toán sau thì ta liên tưởng đến một tính chất rất đặc biệt và hữu ích được phát biểu như sau:
\("\) Nếu \(a,b\) là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và \(a.b\) là một số chính phương thì \(a\) và \(b\) đều là các số chính phương \("\)
Ta có:
\(4m^2+m=5n^2+n\)
\(\Leftrightarrow\) \(4m^2+m-5n^2-n=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(5m^2-5n^2+m-n=m^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(5\left(m^2-n^2\right)+\left(m-n\right)=m^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(m-n\right)\left(5m+5n+1\right)=m^2\) \(\left(\text{*}\right)\)
Gọi \(d\) là ước chung lớn nhất của \(m-n\) và \(5m+5n+1\) \(\left(\text{**}\right)\), khi đó:
\(m-n\) chia hết cho \(d\) \(\Rightarrow\) \(5\left(m-n\right)\) chia hết cho \(d\)
\(5m+5n+1\) chia hết cho \(d\)
nên \(\left[\left(5m+5n+1\right)+5\left(m-n\right)\right]\) chia hết cho \(d\)
\(\Leftrightarrow\) \(10m+1\) chia hết cho \(d\) \(\left(1\right)\)
Mặt khác, từ \(\left(\text{*}\right)\), với chú ý cách gọi ở \(\left(\text{**}\right)\), ta suy ra được: \(m^2\) chia hết cho \(d^2\)
Do đó, \(m\) chia hết cho \(d\)
\(\Rightarrow\) \(10m\) chia hết cho \(d\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\), ta có \(1\) chia hết cho \(d\) \(\Rightarrow\) \(d=1\)
Do đó, \(m-n\) và \(5m+5n+1\) là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau
Kết hợp với \(\left(\text{*}\right)\) và điều mới chứng minh trên, thỏa mãn tất cả các điều kiện cần thiết ở tính chất nêu trên nên ta có đpcm
Vậy, \(m-n\) và \(5m+5n+1\) đều là các số chính phương.
câu này mình đánh nhầm,phải là không phải là số chính phương