Question

[Chi Khánh]

Chứng minh giúp mình câu c với ạ

Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, By. Từ M trên đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax tại C, cắt By tại D.

a.       Chứng minh OC ⊥ AM

b.       Chứng minh A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn\(\)

c.       AC . BD = R

 

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

CA,CM là tiếp tuyến

Do đó: CA=CM và OC là phân giác của \(\widehat{MOA}\)

=>\(\widehat{MOA}=2\cdot\widehat{MOC}\)

CA=CM

=>C nằm trên đường trung trực của AM(1)

OA=OM

=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)

Từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của AM

=>OC\(\perp\)AM

b: Xét tứ giác CAOM có \(\widehat{CAO}+\widehat{CMO}=90^0+90^0=180^0\)

nên CAOM là tứ giác nội tiếp

=>C,A,O,M cùng thuộc một đường tròn

c: Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

Do đó: OD là phân giác của góc MOB và DM=DB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

\(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

=>ΔCOD vuông tại O

Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(MC\cdot MD=OM^2\)

mà MC=CA và DM=DB

nên \(CA\cdot DB=OM^2=R^2\)