Question

[Lê Ng Hải Anh]

Chứng minh đẳng thức: \(1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha\)  với \(\alpha< 45^o\) bằng cách vẽ tam giác ABC vuông có \(\widehat{C}=\alpha< 45^o\)

đường trung tuyến AM,đường cao AH

Answer 1

[Incursion_03]

M H A B C

Vì tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến

\(\(\Rightarrow MA=MB=MC=\frac{BC}{2}\)\)

=> tam giác MAC cân tại M

=> ^MAC = ^ MCA \(\(=\alpha\)\)

Mà ^AMB là góc ngoài tam giác MAC

\(\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{MAC}+\widehat{MCA}=2\alpha\)\)

Có \(\(1-cos2\alpha=1-\frac{MH}{MA}=\frac{MA-MH}{MA}=\frac{MB-MH}{MA}=\frac{BH}{BM}\)\)

Lại có :\(\(sin\alpha=\frac{AB}{BC}\)\)

\(\(\Rightarrow2sin^2\alpha=\frac{2AB^2}{BC^2}\)\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\(AB^2=BH.BC\)\)

\(\(\Rightarrow2sin^2\alpha=\frac{2BH.BC}{BC^2}=\frac{2BH}{BC}\)\)

Mà BC = 2 BM \(\(\Rightarrow2sin^2\alpha=\frac{2BH}{2BM}=\frac{BH}{BM}=1-cos2\alpha\)\)

Vậy \(\(1-cos2\alpha=2sin^2\alpha\)\)