Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\dfrac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3}+...+\dfrac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-1=10-1=9\) Vậy , biểu thức A có giá trị nguyên .
2/ \(\sqrt{4+\sqrt{4+...+\sqrt{4}}}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...+\sqrt{7+\sqrt{4}}}}}=3\)
1/ Ta có:
\(\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{n^2+n+1}{n\left(n+1\right)}\right)^2}=\dfrac{n\left(n+1\right)+1}{n\left(n+1\right)}=1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow C=99+\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=100-\dfrac{1}{100}=\dfrac{9999}{100}\)
b) bạn trục mẫu đi nha dựa vào hằng đẳng thức a^2 -b^2=(a-b)(a+b)
rồi bạn tính nói chung mẫu bằng -1
tính cái trên tử kết quả là 4
c) bạn dựa vào câu b .\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}>\dfrac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)
từ đó suy ra B > 2A vậy B>8
Sửa đề:
\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\ < =>\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)=1\\ < =>n+1-n=1\\ < =>1=1\)(luôn luôn đúng)
=> đfcm
biến đổi vế phải ta có :
\(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\left(đpcm\right)\)
\(\forall n\in N\) ta luôn có \(\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) (*)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(n+1\right)-n=1\) (luôn đúng)
Vậy (*) được chứng minh.
Áp dụng với \(n=1;2;3;...;99\) ta có
\(S=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)
\(=\sqrt{100}-1=10-1=9\)
Vậy S là 1 số nguyên.
\(S=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\\ S=\dfrac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+...+\dfrac{\sqrt{99}-\sqrt{100}}{99-100}\\ S=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\\ S=-1+\sqrt{100}=9\)
Ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1}\)
\(=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh .
Áp dụng :
\(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+....+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+.....+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)
\(=-1+\sqrt{100}\)
\(=-1+10=9\)