Question

[Minh Đen]

Chứng minh BĐT 

a, a²+\(\frac{1}{a^2+1}>=1\)

b,(a²+b²).c+(b²+c²).a+(c²+a²).b>=6abc

cac ban giup minh di ma. lam on

Answer 1

[Trần Thị Diễm Quỳnh]

a) ta có (x-y)²>=0 với mọi x,y

=>x²-2xy+y²>=0 với mọi x,y

=>x²+y²>=2xy với mọi x,y

=>(x²+y²)/xy>=2 với mọi x,y>0

=>x/y+y/x>=2 với mọi x,y>0

áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

(a²+1)/1+1/(a²+1)>=2

=>a²+1+1/(a²+1)>=2

=>a²+1/(a²+1)>=1 (dpcm)

b)áp dụng bất đẳng thức x²+y²>=2xy (chứng minh trên) ta có:

a²+b²>=2ab 

=>(a²+b²).c>=2abc (1)

b²+c²>=2bc

=>(b²+c²).a>=2abc (2)

a²+c²>=2ac

=>(a²+c²).b>=2abc (3)

từ (1),(2),(3) cộng vế với vế ta sẽ suy ra đc dpcm