Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\)
\(\ge\frac{9}{x+y+y+z+x+z}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
\(x,y,z\ge1\)nên ta có bổ đề: \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\ge\frac{2}{ab+1}\)
ÁP dụng: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}+\frac{1}{1+\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{\sqrt[3]{xyz^4}}}\)
\(\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{\sqrt[3]{x^4y^4z^4}}}=\frac{4}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{1+\sqrt[3]{xyz}}\)
Dấu = xảy ra \(x=y=z\)hoặc x=y,xz=1 và các hoán vị
trc giờ mấy bài này tui toàn quy đồng thôi, may có cách này =))
Áp dụng công thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x,y>0\right)\)
Ta có \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
(1)(2)(3) => \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
2)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
theo yêu cầu của bạn thì đến đâ mk làm theo cách này
ÁP Dụng cô si ta có:\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)(luôn đúng)\(\Rightarrowđpcm\)
cách 2
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Rightarrowđpcm\)
Áp dụng bất đẳng thức : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)( với x , y > 0 )
Ta có : \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)
Suy ra :
\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)
Tường tự ta có :
\(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\)
\(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+z}\\\frac{1}{2z+y+x}=\frac{1}{z+y+x+z}\\\frac{1}{2y+x+z}=\frac{1}{x+y+y+z}\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{1}{z+y+x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\\\frac{1}{x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\\\frac{1}{z+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\right)\end{cases}}\Rightarrow\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2z+x+y}+\frac{1}{2y+z+x}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot4=1\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=0,75\)
1/ Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2013}=a\\\sqrt{x-2014}=b\end{cases}}\)
Thì ta có:
\(\frac{\sqrt{x-2013}}{x+2}+\frac{\sqrt{x-2014}}{x}=\frac{a}{a^2+2015}+\frac{b}{b^2+2014}\)
\(\le\frac{a}{2a\sqrt{2015}}+\frac{b}{2b\sqrt{2014}}=\frac{1}{2\sqrt{2015}}+\frac{1}{2\sqrt{2014}}\)
2/ \(\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+x}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)
\(=\frac{3}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2yz+2=x^2+\left(y^2+2yz+z^2\right)=x^2+\left(y+z\right)^2\ge2\sqrt{x^2.\left(y+z\right)^2}=2x\left(y+z\right)\Rightarrow yz+1\ge x\left(y+z\right)\)\(\Rightarrow VT\le\frac{x^2}{x^2+x+x\left(y+z\right)}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}=\frac{x+y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\)
- Nếu \(x+y+z\le2\)thì \(VT\le1-\frac{1}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\le1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)
- Nếu \(x+y+z\ge2\), ta đặt x + y + z = p; xy + yz + zx = q; xyz = r thì áp dụng bất đẳng thức Schur, ta được \(VT\le\frac{p}{p+1}+\frac{1}{\frac{p\left(4q-p^2\right)}{9}+3}=\frac{p}{p+1}+\frac{9}{p^3-4p+27}\)
Khảo sát hàm trên với \(p\in\left[\sqrt{2};2\right]\)ta cũng có \(VT\le1\)
Vậy ta có: \(\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\le1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1; z = 0
Với \(x,y>0\). Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(x^4+y^2\ge2x^2y\)
\(\Rightarrow x^4+y^2+2xy^2\ge2x^2y+2xy^2=2xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^4+y^2+2xy^2}\le\frac{1}{2xy\left(x+y\right)}\)(đpcm)
BĐT Vasc cơ bản:
Cho các số dương \(abc=1\) thì:
\(\sum\frac{1}{a^2+a+1}\ge1\)
Chứng minh:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{yz}{x^2}\\b=\frac{xz}{y^2}\\c=\frac{xy}{z^2}\end{matrix}\right.\) thì BĐT trở thành:
\(\sum\frac{x^4}{x^4+x^2yz+y^2z^2}\ge1\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^4+y^4+z^4+x^2yz+y^2xz+z^2xy+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\ge1\)
Nhân chéo và thực hiện khai triển:
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2\)
Sau đó rút gọn ta được:
\(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge x^2yz+y^2xz+z^2xy\)
BĐT trên chính là dạng \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Vậy BĐT đã được chứng minh xong
Theo AM-GM , có :
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
Nhân vế theo vế :
\( \left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Kurosaki Akatsu mình đang cần chứng minh phần sau nhé:))