\(8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\r...">
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

2 tháng 10 2019

Áp dụng bất đẳng thức \(4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\) với x, y > 0, ta được:

\(4a^3+4b^3\ge\left(a+b\right)^3\)\(4b^3+4c^3\ge\left(b+c\right)^3\) ; \(4c^3+4a^3\ge\left(c+a\right)^3\).

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:

\(4a^3+4b^3+4a^3+4b^3+4c^3+4c^3\ge\left(a+b\right)^3+\left(c+b\right)^3+\left(a+c\right)^3\)

\(\Rightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(c+b\right)^3+\left(a+c\right)^3\)

=> đpcm.

20 tháng 1 2020

Có: \(VT-VP=\frac{\left(b^2+c^2-2a^2\right)^2+\left(b-c\right)^2\left(\Sigma_{cyc}a^2+3\Sigma_{cyc}ab\right)}{2a+b+c}\ge0\)

Done!

16 tháng 4 2020

*học ngu chỉ làm được câu b. lười quá nên làm tắt*

Biến đổi thành

4(a3+b3)-(a+b)3+4(a3+b3)-(b+c)3+4(c3+a3)-(c+a)3 >=0

xét 4(a3+b3)-(a+b)=(a+b)[4(a2-ab+b2)-(a+b)2]

                                =3(a+b)(a-b)2 >=0

tương tự với \(\hept{\begin{cases}4\left(b^3+c^3\right)-\left(b+c\right)^3\\4\left(c^3+a^2\right)-\left(a+c\right)^3\end{cases}}\)

=> đpcm

đẳng thức xảy ra khi a=b=c

29 tháng 4 2020

Ta có : \(4\left(a^3+b^3\right)=4a^3+4b^3\)(1)

\(\left(a+b\right)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^2\)(2)

Từ 1 và 2 \(< =>3a^3+3b^3\ge3a^2b+3ab^2\)

\(< =>a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)

\(< =>a+b\ge b+a\left(đpcm\right)\)

Ko chắc lắm vì t ms lớp 6 :((

29 tháng 11 2016

1)Áp dụng Bđt Am-Gm \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)

2)Áp dụng Am-Gm \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab;b^2+c^2\ge2bc;a^2+c^2\ge2ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

=>ĐPcm

3)(a+b+c)2\(\ge\)3(ab+bc+ca)

=>a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca\(\ge\)3ab+3bc+3ca

=>a2+b2+c2-ab-bc-ca\(\ge\)0

=>2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca\(\ge\)0

=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)\(\ge\)0

=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2\(\ge\)0

4)đề đúng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

2 tháng 11 2019

\(a^3+a^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^6b^3}=3a^2b\)

\(b^3+b^3+a^3\ge3b^2a\)

\(\Rightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge3\left(a^2b+b^2a\right)\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a^2b+b^2a\right)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)

11 tháng 2 2019

Câu b search google bđt Min-cốp-xki thẳng tiến

4 tháng 2 2019

Chị ơi!

31 tháng 5 2020

Ta biến đối tương đương:

\(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\Leftrightarrow4\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+4b^2\ge a^2+2ab+b^2\)( chia hia vế cho số dương a+b)

\(\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\) là đúng.

31 tháng 5 2020

cảm ơn bạn

30 tháng 3 2018

c)          \(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(ax\right)^2+2axby+\left(by\right)^2\le\left(ax\right)^2+\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2+\left(by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(2axby\le\left(ay\right)^2+\left(bx\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(ay\right)^2-2axby+\left(bx\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(ay-bx\right)^2\ge0\)  luôn đúng

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

3 tháng 4 2018

a) cứ tach theo kieu a^2-2a+1 =(a-1)^2 >0 la ra

b)nhân 2 lên rồi trừ đi ghép hằng đẳng thức giống câu a la ra

d) dung bdt a^3+b^3>=a^2b+ab^2

\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3-a^3-ab^2-a^2b-b^3>=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3-ab^2-a^2b>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2>=0\)(luôn đúng)

1 tháng 3 2018

Xét : a^3+b^3-ab.(a+b)

= (a+b).(a^2-ab+b^2)-ab.(a+b)

= (a+b).(a^2-2ab+b^2)

= (a+b).(a-b)^2 >= 0 ( vì a;b > 0 )

=> a^3+b^3 >= ab.(a+b)

<=> (a+b)^3 = a^3+b^3+3ab.(a+b) < = a^3+b^3+3a^3+3b^3 = 4a^3+4b^3

Tương tự ........

=> (a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 < = 8a^3+8b^3+8c^3 = 8.(a^3+b^3+c^3)

=> ĐPCM

Tk mk nha