K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
23 tháng 5 2019
Ta có: ( a – b) 2 \(\ge\) 0 => a2 + b2 \(\ge\) 2ab
( b – c)2 \(\ge\) 0 => b2 + c2 \(\ge\) 2bc
( a – c)2 \(\ge\) 0 => a2 + c2 \(\ge\) 2ac
=> 2(a2 + b2 + c2) \(\ge\) 2ab + 2bc + 2ac
=> a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ac (đpcm )
23 tháng 5 2019
ta có : (a-b)2\(\ge0với\forall a,b\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(1)
Cm tương tự ta được lần lượt : a2+c2\(\ge2ac\) với \(\forall a,c\)(2)
b2+c2\(\ge2bc\) với \(\forall b,c\)(3)
Cộng vế vế (1), (2)và (3):
a2+b2+c2+a2+b2+c2\(\ge2ab+2ac+2bc\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\left(đpcm\right)\)
VT
4
2 tháng 4 2017
Lại copy!!!
Giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopski
Xét cặp số \(\left(1,1,1\right)\) và \(\left(a,b,c\right)\) ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(1.a+1.b+1.c\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\) (Đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
16 tháng 5 2019
b) Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(1.a+1.b+1.c\right)^2=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
6 tháng 2 2020
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+bc+dc+ad\right)=4\)(*)
Có 2(ab+bc+dc+ad)<=2(a^2+b^2+c^2+d^2 )(**)
Cộng 2 vế của (**) cho a^2+b^2+c^2+d^2 có
3(a^2+b^2+c^2+d^2)>=4
NL
1
12 tháng 4 2020
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Chuyển vế và CM tương tự
20 tháng 3 2018
a) \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b,c)
b)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
20 tháng 3 2018
Câu a :
Ta có :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b\)
Câu b :
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) ( đúng )
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)
19 tháng 12 2016
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4\) (1)
\(ab+cd\ge2\sqrt{abcd}=2\) (2)
\(ac+bd\ge2\sqrt{acbd}=2\) (3)
\(ad+bc\ge2\sqrt{adbc}=2\) (4)
Cộng theo vế của (1),(2),(3),(4) ta có điều phải chứng minh
Dấu "=" khi \(\begin{cases}a=b=c=d\\abcd=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
19 tháng 12 2016
1) \(x+\frac{1}{x}\ge2\left(1\right)\)
<=> \(\frac{x^2+1}{x}\ge2\)
<=> x2 + 1 \(\ge\)2x
<=> x2 + 1 - 2x \(\ge\) 0
<=> (x - 1)2 \(\ge\)0 (2)
Bđt (2) đúng vậy bđt (1) được chứng minh
b) Áp dụng bđt AM-GM cho 10 số dương ta có:
a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd
\(\ge10\sqrt[10]{a^2.b^2.c^2.d^2.ab.ac.ad.bc.bd.cd}=10\sqrt[10]{\left(a.b.c.d\right)^5}\)
\(=10\sqrt[10]{1}=10\left(đpcm\right)\)
18 tháng 2 2019
Thay \(4=4\left(ab+ac+bc\right)\) vì \(ab+ac+bc=1\)=> \(10a^2+10b^2+c^2\ge4\left(ab+ac+bc\right)\)\(\Leftrightarrow20a^2+20b^2+2c^2-8ac-8bc-8ac\ge0\Leftrightarrow\left(16a^2-8ac+c^2\right)+\left(16b^2-8bc+c^2\right)\)
\(+\left(4a^2-8ab+4b^2\right)\)\(\Leftrightarrow\left(4a-c\right)^2+\left(4b-c\right)^2+\left(2a-2b\right)^2\ge0\)vì bất đẳng thức cuối luôn đúng nên bất đẳng thức đầu đúng ( đpcm ). Dấu "=" xảy ra khi 4a=4b=c
22 tháng 3 2018
1a)\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b)\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
22 tháng 3 2018
2a)\(a^2+\dfrac{b^2}{4}\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+\dfrac{b^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2\cdot\dfrac{1}{2}b\cdot a+\left(\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
b)Đã cm
c)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Rightarrow\) \(a^2+b^2\ge2ab\) ( 1 )
Tương tự : \(b^2+c^2\ge2bc\) ( 2 )
\(a^2+c^2\ge2ac\) ( 3 )
Từ ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 ), cộng vế theo vế, ta có :
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Rightarrow\) \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow\) đpcm
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: a2 + b2 \(\ge\) 2ab
Tương tự: b2 + c2 \(\ge\) 2bc; c2 + a2 \(\ge\) 2ca.
Cộng các vế của các BĐT trên ta sẽ có dpcm.