Question

[Nguyễn Quỳnh Anh]

chotam giác ABC,D và G là điểm chính giữa của BC và AC.BG cắt AD ở E. Hãy chứng tỏ rằng AE gấp đôi ED

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

A B C D G E

Ta có \(AG=CG=\dfrac{AC}{2}\Rightarrow\dfrac{AG}{AC}=\dfrac{1}{2}\)

Hai tg ABG và tg ABC có chung đường cao từ B->AC  nên

\(\dfrac{S_{ABG}}{S_{ABC}}=\dfrac{AG}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{ABG}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)

\(S_{ACG}=S_{ABC}-S_{ABG}=S_{ABC}-\dfrac{1}{2}xS_{ABC}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)

Ta có 

\(BD=CD=\dfrac{BC}{2}\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{1}{2}\)

Hai tg BDG và tg BCG có chung đường cao từ G->BC nên

\(\dfrac{S_{BDG}}{S_{BCG}}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{BDG}=\dfrac{1}{2}xS_{BCG}=\dfrac{1}{2}x\dfrac{1}{2}xS_{ABC}=\dfrac{1}{4}xS_{ABC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{ABG}}{S_{BDG}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}xS_{ABC}}{\dfrac{1}{4}xS_{ABC}}=2\)

Hai tg ABG và tg BDG có chung BG nên

\(\dfrac{S_{ABG}}{S_{BDG}}=\) đường cao từ A->BG / đường cao từ D->BG = 2

Hai tg ABE và tg BDE có chung BE nên

\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{BDE}}=\) đường cao từ A->BG / đường cao từ D->BG = 2

Hai tg ABE và tg BDE có chung đường cao từ B->AD nên

\(\dfrac{S_{ABE}}{S_{BDE}}=\dfrac{AE}{ED}=2\Rightarrow AE=2xED\)