HB
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
19 tháng 8 2020
Sử dụng giả thiết \(a^2+b^2+c^2=3\), ta được: \(\frac{a^2b^2+7}{\left(a+b\right)^2}=\frac{a^2b^2+1+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b\right)^2}\)\(\ge\frac{2ab+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a+b\right)^2}=1+\frac{a^2+b^2+2c^2}{\left(a+b\right)^2}\)
Tương tự, ta được: \(\frac{b^2c^2+7}{\left(b+c\right)^2}\ge1+\frac{b^2+c^2+2a^2}{\left(b+c\right)^2}\); \(\frac{c^2a^2+7}{\left(c+a\right)^2}\ge1+\frac{c^2+a^2+2b^2}{\left(c+a\right)^2}\)
Ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{a^2+b^2+2c^2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{b^2+c^2+2a^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{c^2+a^2+2b^2}{\left(c+a\right)^2}\ge3\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được \(\Sigma_{cyc}\frac{a^2+b^2+2c^2}{\left(a+b\right)^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(2a^2+b^2+c^2\right)\left(2b^2+c^2+a^2\right)\left(2c^2+a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}}\)
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{\left(2a^2+b^2+c^2\right)\left(2b^2+c^2+a^2\right)\left(2c^2+a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\ge1\)
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)ta được: \(8\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\)
Mặt khác ta lại có
\(4\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)\le\left(2b^2+c^2+a^2\right)^2\)(1) ; \(4\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\le\left(2c^2+a^2+b^2\right)^2\)(2);\(4\left(c^2+a^2\right)\left(a^2+b^2\right)\le\left(2a^2+b^2+c^2\right)^2\)(3) (Theo BĐT \(4xy\le\left(x+y\right)^2\))
Nhân theo vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(64\left(a^2+b^2\right)^2\left(b^2+c^2\right)^2\left(c^2+a^2\right)^2\)\(\le\left(2a^2+b^2+c^2\right)^2\left(2b^2+c^2+a^2\right)^2\left(2c^2+a^2+b^2\right)^2\)
hay \(8\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)\)\(\le\left(2a^2+b^2+c^2\right)\left(2b^2+c^2+a^2\right)\left(2c^2+a^2+b^2\right)\)
Từ đó dẫn đến \(\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\)\(\le\left(2a^2+b^2+c^2\right)\left(2b^2+c^2+a^2\right)\left(2c^2+a^2+b^2\right)\)
Suy ra \(\frac{\left(2a^2+b^2+c^2\right)\left(2b^2+c^2+a^2\right)\left(2c^2+a^2+b^2\right)}{\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2}\ge1\)
Vậy bất đẳng thức trên được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 3 2019
a/ Biến đổi tương đương:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)
\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)
\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)
21 tháng 8 2017
Huy giật mình, đôi bàn tay run run, anh vội vung ngay con dao cầm trong tay mà chặt vào cổ con gà.
Cái cổ con gà đứt phay bay vào đám gio bếp, mà miệng nó vẫn không ngừng kêu lên những âm thanh réo như tiếng chim lợn.
Được một lúc thì tiếng kêu của nó cũng dần im bặt, chỉ còn lại cái âm thanh lách tách của củi lửa bên dưới đáy nồi.
21 tháng 8 2017
Cái cổ con gà đứt phay bay vào đám gio bếp, mà miệng nó vẫn không ngừng kêu lên những âm thanh réo như tiếng chim lợn.
Được một lúc thì tiếng kêu của nó cũng dần im bặt, chỉ còn lại cái âm thanh lách tách của củi lửa bên dưới đáy nồi.
Trên mặt Huy thì giờ này đều đã lấm tấm mồ hôi, anh nhìn lại từ cổ con gà mà mình vừa chặt đứt đầu đang chảy ra những dòng máu đỏ tươi mà run rẩy. Chim lợn là giống loài được quan niệm là đại diện cho điềm hung của người Việt, mỗi khi chim lợn kêu lên, là báo hiệu rằng trong nhà có người sắp chết. Vậy liệu có khi nào, đây chính là một loại điềm báo hay không?
HP
8 tháng 5 2016
\(B=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}\)
\(B=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Ta cần CM \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Áp dụng BĐT Cô-si:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Tương tự,ta cũng có:\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge2;\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow B\ge2+2+2=6\left(đpcm\right)\)
(*) t chỉ ms lớp 7 thôi nên cũng ko chắc đúng ko nhé!
a/c +b/c+b/a+c/a+c/b+a/b>=6 ( ap dung cosi)