Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{\left(bc\right)^3+\left(ab\right)^3+\left(ac\right)^3}{\left(abc\right)^2}\)
Ta lại có (a+b+c)2=a2+b2+c2
=>a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)= a2+b2+c2
=> 2(ab+bc+ac)=0=> ab+bc+ac=0
Ta cần chứng minh bài toán phụ x+y+z=0 thì
x3+y3+z3=3xyz
Ta thấy x+y+z=0=> x+y=-z
=> (x+y)3=-z3 => x3+3xy(x+y)+y3=-z3
=> x3+y3+z3=-3xy(x+y)=-3xy.(-z)=3xyz
Áp dụng vào bài toán ta có
ab+bc+ac=0 => (ab)3+(bc)3+(ac)3=3(abc)2
=> \(\frac{bc}{a^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{ac}{b^2}=\frac{3\left(abc\right)^2}{\left(abc\right)^2}=3\)
=> đpcm
cho c^2 +2(ab -ac -bc ) =0 và b khác c, a+b khác 0. Chứng minh a^2 +(a-c)^2 /b^2+(b-c)^2 = a-c / b-c
\(a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc=a^2+b^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b-c\right)^2=a^2+b^2\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2=\left(a+b-c\right)^2-b^2=\left(a+b-c-b\right)\left(a+b-c+b\right)=\left(a-c\right)\left(a+2b-c\right)\\b^2=\left(a+b-c\right)^2-a^2=\left(a+b-c-a\right)\left(a+b-c+a\right)=\left(b-c\right)\left(2a+b-c\right)\end{cases}}\)
\(a^2+\left(a-c\right)^2=\left(a-c\right)\left(a+2b-c\right)+\left(a-c\right)^2\)
\(=\left(a-c\right)\left(a+2b-c+a-c\right)=2\left(a-c\right)\left(a+b-c\right)\)
\(b^2+\left(b-c\right)^2=\left(b-c\right)\left(2a+b-c\right)+\left(b-c\right)^2\)
\(=\left(b-c\right)\left(2a+b-c+b-c\right)=2\left(b-c\right)\left(a+b-c\right)\)
Vậy \(\frac{a^2+\left(a-c\right)^2}{b^2+\left(b-c\right)^2}=\frac{2\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{2\left(b-c\right)\left(a+b+c\right)}=\frac{a-c}{b-c}\)
Do: \(a^2+b^2+c^2=1\text{ nen }a^2\le1,b^2\le1,c^2\le1\)
\(\Rightarrow a\ge-1;b\ge-1;c\ge-1\)
\(\Rightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\ge0\)
Cần C/m:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)
Ta có:
\(1+a+b+c+ab+bc+ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2+2\left(a+b+c\right)+2ab+2bc+2ca+abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c+1\right)^2\ge0\left(\text{luon dung}\right)\)
=> ĐPCM
a2+b2-c2 = (a+b+c)2 - 2(a+c)(b+c) = -2(a+b)(b+c) = -2(a+b+c-b)(a+b+c-a) = -2ab
làm tương tự với 2 mẫu còn lại. Đến đây chắc em hiểu rồi phải không.