choa,b,c >0 \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

PT

Phạm Thị Hằng

9 tháng 9 2019

choa,b,c >0

\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

#Toán lớp 10

1

H

Hung

9 tháng 9 2019

Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

D

dbrby

10 tháng 8 2019

choa,b,c > 0. Cmr: \(\sqrt{\frac{2}{a}}+\sqrt{\frac{2}{b}}+\sqrt{\frac{2}{c}}\le\sqrt{\frac{a+b}{ab}}+\sqrt{\frac{b+c}{bc}}+\sqrt{\frac{c+a}{ca}}\)

#Toán lớp 10

0

LC

Linh Châu

1 tháng 7 2020

cho a , b , c >0. Chứng minh các bất đẳng thức :

1, ab + bc + ca \(\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

2, \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)

3, \(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1\)

4, \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)

5, \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

#Toán lớp 10

3

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

3 tháng 7 2020

4.

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

5.

\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}\ge2\sqrt{\frac{ab}{bc.ca}}=\frac{2}{c}\) ; \(\frac{a}{bc}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{b}\) ; \(\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{2}{a}\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

3 tháng 7 2020

1.

Áp dụng BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{ab}\right)^2+\left(\sqrt{bc}\right)^2+\left(\sqrt{ca}\right)^2\ge\sqrt{ab}.\sqrt{bc}+\sqrt{ab}.\sqrt{ac}+\sqrt{bc}.\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\sqrt{abc}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)

2.

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt[]{\frac{ab.bc}{ca}}=2b\) ; \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\) ; \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)

3.

Từ câu b, thay \(c=1\) ta được:

\(ab+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge a+b+1\)

PT

Phạm Thị Hằng

10 tháng 9 2019

\(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)(a,b,c>0)

#Toán lớp 10

0

CT

Cao Thi Thuy Duong

21 tháng 10 2019

cho a,b,c>0 và a+b+c=1

chứng minh \(\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\ge\frac{1}{2}\)

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

21 tháng 10 2019

\(P=\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\)

\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}=\frac{1}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}\ge\frac{1}{1+\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

O

oooloo

20 tháng 6 2020

cho a,b,c > 0 .Cmr:

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\)

#Toán lớp 10

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

20 tháng 6 2020

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của Nguyễn Bảo Trân - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

E

Easylove

24 tháng 6 2020

Cho a, b, c > 0

Cmr: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\)

#Toán lớp 10

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

24 tháng 6 2020

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a^2}{b}=\frac{a^2-ab+b^2}{b}+a-b=\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b+(a-2b)\geq 2\sqrt{a^2-ab+b^2}+(a-2b)\)

Tương tự:

\(\frac{b^2}{c}\geq 2\sqrt{b^2-bc+c^2}+(b-2c)\)

\(\frac{c^2}{a}\geq 2\sqrt{c^2-ca+a^2}+(c-2a)\)

Cộng theo vế:
\(\sum \frac{a^2}{b}\geq 2\sum \sqrt{a^2-ab+b^2}-(a+b+c)(1)\)

Mà theo BĐT AM-GM:

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{(a+b)^2-3ab}\geq \sqrt{(a+b)^2-\frac{3}{4}(a+b)^2}=\frac{a+b}{2}\)

\(\Rightarrow \sum \sqrt{a^2-ab+b^2}\geq \sum \frac{a+b}{2}=a+b+c(2)\)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b}\geq \sum \sqrt{a^2-ab+b^2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

WO

WANNA ONE

8 tháng 9 2019

cho a,b,c>0 CM: \(\frac{a}{\sqrt{ab+b^2}}\)+\(\frac{b}{\sqrt{bc+c^2}}\)+\(\frac{c}{\sqrt{ca+a^2}}\)≥3.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

#Toán lớp 10

0

ND

Nam Đỗ

19 tháng 12 2019

Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(\left(ab\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(ac\right)^2\ge\left(abc\right)^2\)

Chứng minh rằng \(\frac{\left(ab\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)c^3}+\frac{\left(bc\right)^2}{\left(b^2+c^2\right)a^3}+\frac{\left(ac\right)^2}{\left(a^2+c^2\right)b^3}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

#Toán lớp 10

0

O

oooloo

22 tháng 6 2020

cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. Cmr:

\(a+b+c+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

#Toán lớp 10

2

AH

Akai Haruma

Giáo viên

25 tháng 6 2020

Lời giải:

Ta thấy:

\(\text{VT}=(a+\frac{ca}{a+b})+(b+\frac{ab}{b+c})+(c+\frac{bc}{c+a})\)

\(=\frac{a(a+b+c)}{a+b}+\frac{b(a+b+c)}{b+c}+\frac{c(a+b+c)}{c+a}\)

\(=(a+b+c)\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right)\)

\(\geq (a+b+c).\frac{(a+b+c)^2}{a^2+ab+b^2+bc+c^2+ac}=\frac{(a+b+c)^3}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac}\) (theo BĐT Cauchy-Schwarz)

Có:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2+2$

$\Rightarrow a+b+c=\sqrt{a^2+b^2+c^2+2}=\sqrt{t+2}$ với $t=a^2+b^2+c^2$

Do đó:

$\text{VT}\geq \frac{\sqrt{(t+2)^3}}{t+1}$ \(=\sqrt{\frac{(t+2)^3}{(t+1)^2}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((t+2)^3=\left(\frac{t+1}{2}+\frac{t+1}{2}+1\right)^3\geq 27.\frac{(t+1)^2}{4}\)

\(\Rightarrow \text{VT}=\sqrt{\frac{(t+2)^3}{(t+1)^2}}\geq \sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$

D

✿✿❑ĐạT̐®ŋɢย❐✿✿

26 tháng 6 2020

Mày chỉ tao SOS đi :((