K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TN
0
NN
0
LN
1
22 tháng 4 2016
Mình học lớp 7 nên chỉ làm được phần b, thôi
b, * Nếu x=1 thì:
1+1=2
* Nếu x=2 thì:
2+ 1/2 >2
* Nếu x>2
=> x + 1/x > 2 ( vì 1/x là số dương )
Vậy x + 1/x >=2 (x>0)
22 tháng 4 2016
Phần A mình tìm được ở trang này nè http://olm.vn/hoi-dap/question/162099.html
HD
3
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2019
Theo BĐT Holder ta có:
\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)=\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a.1.1+b.1.1+c.1.1\right)^3\)
\(\Rightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}\)
\(\Rightarrow P=\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}.3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=\left(a+b+c\right)^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
KB
11 tháng 3 2019
C/m : \(a^3+b^3+c^3\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}\)
Giả sử đpcm là đúng , ta có :
\(9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+3\left(a+b\right)^2c+3\left(a+b\right).c^2+c^3\)
\(\Leftrightarrow9\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3\left(a^2+2ab+b^2\right).c+3ac^2+3bc^2\)
\(\Leftrightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3ab\left(a+b\right)+\left(3a^2+6ab+3b^2\right).c+3ac^2+3bc^2\)
\(\Leftrightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(3a^2c+3ac^2\right)+\left(3bc^2+3b^2c\right)+3ab\left(a+b\right)+6abc\)
\(\Leftrightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3ac\left(a+c\right)+3bc\left(b+c\right)+3ab\left(a+b\right)+6abc\left(1\right)\)
Do a ; b ; c > 0 , áp dụng BĐT Cô - si , ta có :
\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge6abc\)
Từ ( 1 ) \(\Rightarrow6\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge3ac\left(a+c\right)+3bc\left(b+c\right)+3ab\left(a+b\right)\left(3\right)\)
Áp dụng BĐT phụ \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) ( tự c/m ) , ta có :
\(3\left(a^3+c^3\right)\ge3ac\left(a+c\right)\) ; \(3\left(b^3+c^3\right)\ge3bc\left(b+c\right);3\left(a^3+b^3\right)\ge3ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow6\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3ab\left(a+b\right)+3ac\left(a+c\right)+3bc\left(b+c\right)\left(4\right)\)
( luôn đúng )
Từ ( 3 ) ; ( 4 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm
Áp dụng vào bài toán , ta có :
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}.\frac{9}{a+b+c}=\left(a+b+c\right)^2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
PD
1
25 tháng 12 2018
Sửa đề: \(a+b+c\le6\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
đpcm
TN
22 tháng 3 2017
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{a+b+1+1}=\frac{4}{3}\)
1 dòng :)
NN
27 tháng 3 2017
Ta có:
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}=\frac{a+b+2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}=\frac{3}{ab+2}\left(1\right)\)
Mà \(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(1\ge2\sqrt{ab}\right)\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
Thay vào \(\left(1\right)\) ta được:
\(\frac{3}{ab+2}\ge\frac{3}{\frac{1}{4}+2}=\frac{3}{\frac{9}{4}}=\frac{4}{3}\)
Hay \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\) (Đpcm)
với m\(\ge n;p\ge q\)=> (m-n)(p-q) \(\ge0\)<=> mp+nq \(\ge mq+np\)<=> mp+ nq\(\ge\frac{1}{2}\left(m+n\right)\left(p+q\right)\)
giả sử \(a\ge b=>\frac{1}{b+1}\ge\frac{1}{a+1};\)áp dụng bdt trên ta được
\(\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{a+1}\right)\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)\frac{4}{a+1+b+1}\)( theo bdt \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\))
vậy \(\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{2\left(a+b\right)}{a+b+2}+\frac{1}{a+b}\)đặt a+b=X
ta được \(\frac{2X}{X+2}+\frac{1}{X}=\frac{2X^2+X+2}{\left(X+2\right)X}\ge\frac{3}{2}< =>4X^2+2X+4\ge3X\left(X+2\right)< =>\)(X-2)2 \(\ge0\)(đúng)
dấu '=' sảy ra khi X = a+b=2 và a=b hay a = b =1