HT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KK
20 tháng 3 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+y^2\ge2\sqrt{x^3y^2}=2xy\sqrt{x}\\y^3+z^2\ge2\sqrt{y^3z^2}=2yz\sqrt{y}\\z^3+x^2\ge2\sqrt{z^3x^2}=2xz\sqrt{z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\dfrac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}=\dfrac{1}{xy}\\\dfrac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}\le\dfrac{2\sqrt{y}}{2yz\sqrt{y}}=\dfrac{1}{yz}\\\dfrac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\dfrac{2\sqrt{z}}{2xz\sqrt{z}}=\dfrac{1}{xz}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\) ( 1 )
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x^2y^2}}=\dfrac{2}{xy}\\\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{y^2z^2}}=\dfrac{2}{yz}\\\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x^2z^2}}=\dfrac{2}{xz}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\dfrac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\dfrac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\) ( đpcm )
KM
Cho x,y,z >0 và x+y+z=3.Chứng minh \(\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{3}{2}\)
2
S
1 tháng 6 2019
đặt A=\(\frac{1}{x\left(x+1\right)}\) +\(\frac{1}{y\left(y+1\right)}\) +\(\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)=\(\frac{1}{x}\)-\(\frac{1}{x+1}\)+\(\frac{1}{y}\)-\(\frac{1}{y+1}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{z+1}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)≥\(\frac{4}{a+b}\) (bạn tự chứng minh nha,quy đồng ,nhân chéo ,chuyển về )⇒\(\frac{1}{a+b}\) ≤\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))
⇒A≥\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)-\(\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)+3)
⇒A≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\))-\(\frac{3}{4}\)≥\(\frac{3}{4}\) (\(\frac{9}{x+y+z}\))-\(\frac{3}{4}\)
⇒a≥\(\frac{9}{4}\)-\(\frac{3}{4}\)=\(\frac{3}{2}\) dpcm
HH
8
27 tháng 8 2020
tham khảo [Toán 12] Chứng minh bất đẳng thức: $x^3+y^3+z^3 \ge x+y+z$
27 tháng 8 2020
lỗi link ấy =)) bạn vào thống kê hỏi đáp của mình để xem link nhé
DK
29 tháng 5 2021
Áp dụng AM-GM có
\(\dfrac{x^3}{y^2}+y+y\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{y^2}.y.y}=3x\)
Tương tự . \(\dfrac{y^3}{z^2}+z+z\ge3y\); \(\dfrac{z^3}{x^2}+x+x\ge3z\)
cộng lại ta được
\(VT+2\left(x+y+z\right)\ge3\left(x+y+z\right)\rightarrow VT\ge x+y+z=VP\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z\)
NM
4
10 tháng 2 2020
Theo AM-GM: \(x^3+y^2\ge2\sqrt{x^3y^2}=2xy\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\)
Tương tự: \(\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}\le\frac{1}{yz}\)
\(\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{1}{zx}\)
Cộng vế với vế => \(VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)
Theo AM-GM; \(VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\le\frac{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}}{2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z=1
10 tháng 2 2020
Áp dụng bất đẳng thức Cacuhy - Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3+y^2\ge2\sqrt{x^3y^2}=2xy\sqrt{x}\\y^3+z^2\ge2\sqrt{y^3z^2}=2yz\sqrt{y}\\z^3+x^2\ge2\sqrt{z^3x^2}=2xz\sqrt{z}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}\le\frac{2\sqrt{x}}{2xy\sqrt{x}}=\frac{1}{xy}\\\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}\le\frac{2\sqrt{y}}{2yz\sqrt{y}}=\frac{1}{yz}\\\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{2\sqrt{z}}{2xz\sqrt{z}}=\frac{1}{xz}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cacuchy Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2y^2}}=\frac{2}{xy}\\\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{y^2z^2}}=\frac{2}{yz}\\\frac{1}{z^2}+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{z^2x^2}}=\frac{2}{xz}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x}}{x^3+y^2}+\frac{2\sqrt{y}}{y^3+z^2}+\frac{2\sqrt{z}}{z^3+x^2}\le\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\left(đpcm\right)\)
7 tháng 3 2021
Dễ dàng chứng minh được:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với \(a,b,c>0\)(1)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Theo đề bài, vì x, y, z > 0 nên áp dụng (1), ta có:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\)(2)
Vì x y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(3)
Chứng mih tương tự, ta được;
\(y+z\ge2\sqrt{yz}\)(4);
\(z+x\ge2\sqrt{zx}\)(5)
Từ (3), (4), (5), ta được:
\(2\left(x+y+z\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y+z\right)\ge x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\)\(\frac{1}{2\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
7 tháng 3 2021
Mà theo đề bài, \(x+y+z\ge3\) nên:
\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}}\ge\frac{3}{2}\left(6\right)\)
Từ (2) và (6), ta được:
\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)(điều phải chứng minh)
Dấu bằng xảy ra
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=1}\)
Vậy nếu x, y, z > 0 và \(x+y+z\ge3\)thì \(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\)