H
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
11 tháng 12 2019
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(2^x;2^y;2^z\right)\)\(\left(a,b,c>0\right)\)\(\Rightarrow\)\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{2^{x+y+z}}=3\sqrt[3]{2^6}=12\)
bđt đề bài \(\Leftrightarrow\)\(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dễ dàng chứng minh bđt trên với bđt phụ \(a^3-4a^2\ge16a-64\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-4\right)^2\left(a+4\right)\ge0\) luon dung
\(\Rightarrow\)\(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)+16\left(a+b+c\right)-192\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)
X
20 tháng 1 2019
Đặt : \(a=2^x;b=2^y;c=2^z\)
Khi đó : \(a,b,c>0;abc=2^{x+y+z}=64\)
Ta cần c/m : \(a^3+b^3+c^3\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow a^3+32-6a^2=\left(a-4\right)^2\left(a+2\right)\)
Theo đó, ta cần sử dụng giả thiết : \(a>0\), suy ra : \(a^3+32\ge6a^2\)
Thiết lập các bđt tương tự cho b và c và cộng theo vế các bđt tìm được, ta có :
\(a^3+b^3+c^3+96\ge6\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Ta cần c/m thêm : \(6\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge4\left(a^2+b^2+c^2\right)+96\)
hay : \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=6\sqrt[3]{4096}=96\)
\(\Rightarrowđpcm\)
21 tháng 1 2019
mik làm cách khác,mấy bạn cho điểm nhá!
Sai đề:x+y+z=6
Đặt\(a=2^x,b=2^y,c=2^z\)
\(\Rightarrow abc=2^{x+y+z}=64\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM,ta được:
\(3\sqrt[3]{abc}\le a+b+c\)
Ta có:\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Hay \(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
Thật vậy:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM một lần nữa,ta được:
\(a^3+a^3+b^3\ge3a^2b\)
\(a^3+a^3+c^3\ge3a^2c\)
\(a^3+b^3+b^3\ge3b^2a\)
\(a^3+c^3+c^3\ge3c^2a\)
\(b^3+b^3+c^3\ge3b^2c\)
\(b^3+c^3+c^3\ge3c^2b\)
Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức,ta được:
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
Dấu "="xẩy ra khi và chỉ khi:\(a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2019
Đề bài sai, cho \(x=y=z=\frac{1}{3}\) thì \(VT=6\) ; \(VP>19\)
S
13 tháng 8 2018
Áp dụng BĐT cauchy schawrz dạng engel ta có:
\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
D
3 tháng 9 2018
Áp dụng BĐT cauchy schawrz dạng engel, ta có:
\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
S
8 tháng 10 2018
Sửa đề z^4(z-y) thành z^4(x-y)
Đặt \(A=x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)\)
\(=x^4\left(y-x+x-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)\)
\(=-x^4\left(x-y\right)+x^4\left(x-z\right)-y^4\left(x-z\right)+z^4\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(z^4-x^4\right)+\left(x-z\right)\left(x^4-y^4\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(z^2+x^2\right)\left(z^2-x^2\right)+\left(x-z\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(z^2+x^2\right)\left(x+z\right)\left(z-x\right)+\left(x-z\right)\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\left(x-y\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(z-x\right)\left[\left(z^2+x^2\right)\left(x+z\right)-\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(z-x\right)\left(xz^2+z^3+x^3+x^2z-x^3-x^2y-xy^2-y^3\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(z-x\right)\left[x^2\left(z-y\right)+x\left(z^2-y^2\right)+\left(z^3-y^3\right)\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(z-x\right)\left(z-y\right)\left[x^2+x\left(z+y\right)+\left(z^2+yz+y^2\right)\right]\)
\(=\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)\left(x^2+xz+xy+z^2+yz+y^2\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2+2xy+2yz+2xz\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(x-y\right)\left(x-z\right)\left(y-z\right)\left[\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2\right]\)
Vì \(x>y>z\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y>0\\x-z>0\\y-z>0\end{cases}}\) và \(\left(x+y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z+x\right)^2\ge0\)
=>....
ML
1 tháng 7 2015
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz : \(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\ge\frac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\)
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}=\frac{x^2}{x^6}+\frac{1^2}{y^4}\ge\frac{\left(x+1\right)^2}{x^6+y^4}\ge\frac{4x}{x^6+y^4}\)(\(\left(a+b\right)^2\ge4a\))
Tương tự: \(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{4y}{y^6+z^4};\frac{1}{z^4}+\frac{1}{x^4}\ge\frac{4z}{z^6+x^4}\)
\(\Rightarrow2.\left(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\right)\ge4\left(\frac{x}{x^6+y^4}+\frac{y}{y^6+z^4}+\frac{z}{z^6+x^4}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\ge\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
22 tháng 6 2018
với x,y,z >0 áp dụng bđt cosi ta có:
\(x^6+y^4>=2\sqrt{x^6y^4}=2x^3y^2\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}< =\frac{2x}{2x^3y^2}=\frac{1}{x^2y^2}\)
\(y^6+z^4>=2\sqrt{y^6z^4}=2y^3z^2\Rightarrow\frac{2y}{y^6+z^4}< =\frac{2y}{2y^3z^2}=\frac{1}{y^2z^2}\)
\(z^6+x^4>=2\sqrt{z^6x^4}=2z^3x^2\Rightarrow\frac{2z}{z^6+x^4}< =\frac{2z}{2z^3x^2}=\frac{1}{z^2x^2}\)
\(\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4}< =\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{z^2x^2}\left(1\right)\)
với x,y,z>0 áp dụng bđt cosi ta có:
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}>=2\sqrt{\frac{1}{x^4}\cdot\frac{1}{y^4}}=\frac{2}{x^2y^2}\)
\(\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}>=2\sqrt{\frac{1}{y^4}\cdot\frac{1}{z^4}}=\frac{2}{y^2z^2}\)
\(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{z^4}>=2\sqrt{\frac{1}{x^4}\cdot\frac{1}{z^4}}=\frac{2}{x^2z^2}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{x^4}+\frac{2}{y^4}+\frac{2}{z^4}>=\frac{2}{x^2y^2}+\frac{2}{y^2z^2}+\frac{2}{x^2z^2}\Rightarrow\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}>=\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{x^2z^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^2y^2}+\frac{1}{y^2z^2}+\frac{1}{x^2z^2}< =\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\left(2\right)\)
từ \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2x}{y^6+z^4}+\frac{2x}{z^6+x^4}< =\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}\)(đpcm)
dấu = xảy ra khi x=y=z=1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2018
Bài 1:
Vì $x+y+z=1$ nên:
\(Q=\frac{x}{x+\sqrt{x(x+y+z)+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y(x+y+z)+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{z(x+y+z)+xy}}\)
\(Q=\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\sqrt{(x+y)(x+z)}=\sqrt{(x+y)(z+x)}\geq \sqrt{(\sqrt{xz}+\sqrt{xy})^2}=\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế suy ra:
\(Q\leq \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+ \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+ \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
Vậy $Q$ max bằng $1$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2018
Bài 2:
Vì $x+y+z=1$ nên:
\(\text{VT}=\frac{1-x^2}{x(x+y+z)+yz}+\frac{1-y^2}{y(x+y+z)+xz}+\frac{1-z^2}{z(x+y+z)+xy}\)
\(\text{VT}=\frac{(x+y+z)^2-x^2}{(x+y)(x+z)}+\frac{(x+y+z)^2-y^2}{(y+z)(y+x)}+\frac{(x+y+z)^2-z^2}{(z+x)(z+y)}\)
\(\text{VT}=\frac{(y+z)[(x+y)+(x+z)]}{(x+y)(x+z)}+\frac{(x+z)[(y+z)+(y+x)]}{(y+z)(y+x)}+\frac{(x+y)[(z+x)+(z+y)]}{(z+x)(z+y)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\text{VT}\geq \frac{2(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{(x+y)(x+z)}+\frac{2(x+z)\sqrt{(y+z)(y+x)}}{(y+z)(y+x)}+\frac{2(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}}{(z+x)(z+y)}\)
\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq 2\underbrace{\left(\frac{y+z}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{x+z}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{x+y}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\right)}_{M}\)
Tiếp tục AM-GM cho 3 số trong ngoặc lớn, suy ra \(M\geq 3\)
Do đó: \(\text{VT}\geq 2.3=6\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $3x=3y=3z=1$
17 tháng 11 2017
Có : (a-b)^2>=0
<=> a^2+b^2-2ab >=0
<=>a^2+b^2 >= 2ab
<=>a^2+b^2+2ab >= 4ab
<=> (a+b)^2 >= 4ab
Với a,b >0 thì chia cả 2 vế cho (a+b).ab thì :
a+b/ab >= 4/a+b
<=>4/a+b <= 1/a+1/b
<=> 1/a+b <= 1/4.(1/a+1/b) ( với mọi a,b > 0 )
Áp dụng bđt trên cho x;y;z > 0 thì : x/2x+y+z = x. 1/(x+y)+(z+x) <= x/4 .( 1/x+y+1/x+z) = x/4.(x+y) + x/4.(x+z)
Tương tự : y/x+2y+z <= y/4.(y+x) + y/4.(y+z)
z/x+y+2z <= z/4.(z+x) + z/4.(z+y)
=> VT <= [ x/4.(x+y) + y/4.(y+x) ] + [ y/4.(y+z) + z/4.(z+y) ] + [ z/4.(z+x) + x/4.(x+z) ] = 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z > 0
k mk nha
17 tháng 11 2017
áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) với mọi a,b >0
Thì \(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\ge\frac{4x}{2x+y+z}\)
Tương tự thì đpcm
Cách này nhanh này thành đơ
vì 4 = 22
và 8 =23
nên 4^x=8^y khi 3X =2y
=> số mũ của 4 phải =3/2 số mũ của 8 thì 2 số đó mới = nhau
mà số mũ hai bên đã = nhau => 8^x+8^y+8^z>=4^x+4^y+4^z