K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 9 2017

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(VT=\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-xy}}{4yz+1}\ge\sum\dfrac{\sqrt{\left(x+y\right)^2-\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2}}{\left(y+z\right)^2+1}=\sum\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)}{\left(y+z\right)^2+1}\)

Set \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=a\\y+z=b\\z+x=c\end{matrix}\right.\)thì giả thiết trở thành \(a+b+c=3\) và cần chứng minh \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3\sqrt{3}}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{a}{b^2+1}\ge\dfrac{3}{2}\)( đến đây quen thuộc rồi)

Ta có:\(\sum\dfrac{a}{b^2+1}=\sum a-\sum\dfrac{ab^2}{b^2+1}\ge3-\sum\dfrac{ab^2}{2b}\)(AM-GM)

\(VT\ge3-\sum\dfrac{ab}{2}\ge3-\dfrac{\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{3}{2}\)( AM-GM)

Vậy ta có đpcm.Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 hay \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)

30 tháng 9 2017

cảm ơn bạn nhé

12 tháng 3 2017

solution:

ta có: \(3=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Leftrightarrow xyz\le1\)(theo BĐT cauchy cho 3 số )

\(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{z};yz\le\dfrac{1}{x};xz\le\dfrac{1}{y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}=x\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{x^4}\)

tương tự ta có:\(\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}\ge\sqrt[3]{y^4};\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{z^4}\)

cả 2 vế các BĐT đều dương,cộng vế với vế:

\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\)

Áp dụng BĐT bunyakovsky ta có:

\(\left(\sqrt[3]{x^4}+\sqrt[3]{y^4}+\sqrt[3]{z^4}\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(\sqrt[3]{x^8}+\sqrt[3]{y^8}+\sqrt[3]{z^8}\right)^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(\Rightarrow S\ge x^2+y^2+z^2\)

đến đây ta lại có BĐT quen thuộc: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow S\ge xy+yz+xz\left(đpcm\right)\)

dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y=z mà x2+y2+z2=3 => x=y=z=1

*cách khác : Áp dụng BĐT cauchy - schwarz(bunyakovsky):

\(S=\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}=\dfrac{x^4}{x^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}}+\dfrac{y^4}{y^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{y}}}+\dfrac{z^4}{z^3.\dfrac{1}{\sqrt[3]{z}}}\)

\(S\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

13 tháng 3 2017

cái cách 2 là svac mà nhỉ

3 tháng 10 2017

\(A=\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+\dfrac{1}{4}xy+y^2}}+\sqrt{\dfrac{y^2}{y^2+\dfrac{1}{4}yz+z^2}}+\sqrt{\dfrac{z^2}{z^2+\dfrac{1}{4}zx+x^2}}\le2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{y}{4x}+\dfrac{y^2}{x^2}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{z}{4y}+\dfrac{z^2}{y^2}}}+\sqrt{\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{4z}+\dfrac{x^2}{z^2}}}\le2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y}{x}=a\\\dfrac{z}{y}=b\\\dfrac{x}{z}=c\end{matrix}\right.\) thì bài toán thành

Chứng minh: \(A=\dfrac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4b^2+b+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{4c^2+c+4}}\le1\) với \(abc=1\)

Thử giải bài toán mới này xem sao bác.

3 tháng 10 2017

*C/m bài toán mới của HUngnguyen

Ta có BĐT phụ \(\dfrac{1}{\sqrt{4a^2+a+4}}\le\dfrac{a+1}{2\left(a^2+a+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\left(4a^2+a+4\right)\ge4\left(a^2+a+1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right)^2\ge0\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{4b^2+b+4}}\le\dfrac{b+1}{2\left(b^2+b+1\right)};\dfrac{1}{\sqrt{4c^2+c+4}}\le\dfrac{c+1}{2\left(c^2+c+1\right)}\)

CỘng theo vế 3 BĐT trên ta có;

\(VT\le1=VP\) * Chỗ này tự giải chi tiết ra nhé, giờ bận rồi*

2 tháng 1 2018

Ta có : Áp dụng BĐT Cauchy ba số ở mẫu ta được

\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{y+z+1}{3}}+\dfrac{y}{\dfrac{x+z+1}{3}}+\dfrac{z}{\dfrac{x+y+1}{3}}=\dfrac{3x}{y+z+1}+\dfrac{3y}{x+z+1}+\dfrac{3z}{x+y+1}\)Thấy: \(xy+yz+xz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\left(?!\right)\)

Ta phải chứng minh:

\(\dfrac{3x}{y+z+1}+\dfrac{3y}{x+z+1}+\dfrac{3z}{x+y+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

\(\dfrac{x}{y+z+1}+\dfrac{y}{x+z+1}+\dfrac{z}{x+y+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{9}\)

\(\dfrac{x}{y+z+1}+\dfrac{y}{x+z+1}+\dfrac{z}{x+y+1}=\dfrac{x^2}{xy+xz+x}+\dfrac{y^2}{xy+yz+y}+\dfrac{z^2}{xz+yz+z}\)

Theo C.B.S

\(\dfrac{x^2}{xy+xz+x}+\dfrac{y^2}{xy+yz+y}+\dfrac{z^2}{xz+yz+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)

Phải chứng minh

\(\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{9}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{1}{9}\)

Ta có : \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=3\)

Theo C.B.S : \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3\)

\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le9\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{1}{9}\)

=> ĐPCM

6 tháng 8 2018

Áp dụng BĐT AM-GM, Ta có

\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\Rightarrow yz\sqrt{x-1}\le\dfrac{xyz}{2}\)

\(xz\sqrt{y-2}\le\dfrac{xz\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{xyz}{2\sqrt{2}}\)

\(yx\sqrt{z-3}\le yx.\dfrac{3+z-3}{2\sqrt{3}}=\dfrac{xyz}{2\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{xy\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+yz\sqrt{z-3}}{xyz}\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 7 2018

Lời giải:

Ta có:

\(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+1}}\)

\(=\frac{x}{\sqrt{x^2+xy+yz+xz}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+xy+yz+xz}}+\frac{z}{\sqrt{z^2+xy+yz+xz}}\)

\(=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)

\(\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}\right)\)

\(\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)

Cộng theo vế:

\(\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

5 tháng 4 2018

\(\dfrac{\sqrt{1\left(x-1\right)}}{x}\le\dfrac{1+x-1}{2x}=\dfrac{1}{2}\) ( cauchy )

TT,\(\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}};\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)

cộng vế theo vế => đpcm

5 tháng 4 2018

Thì biết pass facebook thôi chứ cũng không biết có hack không

Bạn ấy đăng nhập bằng FACEBOOK mà

AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 11 2018

Tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Hồ Minh Phi - Toán lớp 9 | Học trực tuyến