Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{x}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{1}{2}xy\)
Tương tự và cộng lại:
\(A\ge x+y+z-\frac{1}{2}\left(xy+yz+zx\right)\ge x+y+z-\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)^2=\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vì x,y,z>0, áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{x^2+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2+1}\cdot\frac{x^2+1}{4}}=2\cdot\frac{1}{2}=1\)
CMTT
\(\frac{1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{4}\ge1\)
\(\frac{1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{4}\ge1\)
Cộng vế vs vế ta được:
\(A+\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+\frac{3}{4}\ge3\)
\(A+\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\ge\frac{9}{4}\)
Mặt khác
\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(3^2\ge3\left(-\right)\)
\(\frac{3}{4}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow A+\frac{3}{4}+\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\ge\frac{9}{4}+\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\)
\(A\ge\frac{3}{2}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Áp dụng Bunhia.
\(\left(x+y+z\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)=3.3=9\)
=> \(0< x+y+z\le3\)
Có: \(P=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
\(=\frac{x^2-2x+1}{x}+\frac{y^2-2y+1}{y}+\frac{z^2-2z+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}+6\)
\(=\frac{\left(x-1\right)^2}{x}+\frac{\left(y-1\right)^2}{y}+\frac{\left(z-1\right)^2}{z}-\frac{1}{x+y+z}+6\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z-3\right)^2}{x+y+z}-\frac{1}{x+y+z}+6=\frac{\left(x+y+z-3\right)^2-1}{x+y+z}+6\)
\(\ge\frac{0-1}{3}+6=\frac{17}{3}\)
"=" xảy ra <=> \(x+y+z=3;x=y=z\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy min P = 17/3 <=> x = y = z =1.
\(P=\frac{x^2+1}{x}+\frac{y^2+1}{y}+\frac{z^2+1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
\(=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\)
\(\ge x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(=x+y+z+\frac{8x}{9}+\frac{8y}{9}+\frac{8z}{9}\)
Có BĐT phụ \(a+\frac{8}{9a}\ge\frac{a^2+33}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{9a^2+8}{9a}\ge\frac{a^2+33}{18}\)
\(\Leftrightarrow162a^2+144-9a^3-297a\ge0\)
\(\Leftrightarrow-a^3+18a^2-33a+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(16-a\right)\ge0\left(OK\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2+y^2+z^2+99}{18}=\frac{17}{3}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=1
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ngược dấu cho 2 số không âm ta có
\(\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x-1}}\ge2.\)
\(\sqrt{\left(\frac{y}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}\right).\sqrt{2}}\le\frac{\frac{y}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}+\sqrt{2}}{2}=\frac{y}{2\sqrt{2}}\Rightarrow\frac{y}{\sqrt{y-2}}\ge2\sqrt{2}.\)
\(\sqrt{\left(\frac{z}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\right).\sqrt{3}}\le\frac{\frac{z}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}=\frac{z}{2\sqrt{3}}\Rightarrow\frac{z}{\sqrt{z-3}}\ge2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow A\ge2+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)
Vậy Min \(A=2+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=1\\\frac{y}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\\\frac{z}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{3}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=2\\y=4\\z=6\end{cases}\left(tmđk\right)}\)
Sử dụng AM - GM dạng cộng mẫu :
\(\frac{1}{x+1}+\frac{4}{y+2}+\frac{9}{z+3}\)
\(\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z+1+2+3}\)
\(=\frac{36}{x+y+z+6}\)
\(=\frac{36}{12}=3\)
Đẳng thức xảy ra tại ......
Trên kia là sai lầm thường gawpjjj ( theo mình nghĩ thế tại nhác tìm dấu bằng )
thứ 2 là wolfram alpha bảo không có minimize:
Ta có:
\(H=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\frac{1}{x^2}}{x\left(y+z\right)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y\left(z+x\right)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\left(\frac{1}{x}\right)^2}{xy+zx}+\frac{\left(\frac{1}{y}\right)^2}{yz+xy}+\frac{\left(\frac{1}{z}\right)^2}{zx+yz}\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta được:
\(H\ge\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 1
Vậy Min(H) = 3/2 khi x = y = z = 1
X=0
nha
chuc
hoc
tot