PV
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AV
1
WR
4 tháng 7 2019
\(\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4x+1+4y+1+4z+1\right)=21.\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le\sqrt{21}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xra :
\(\frac{4x+1}{1}=\frac{4y+1}{1}=\frac{4z+1}{1}\Rightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
14 tháng 7 2018
Bài 1 :
Ta có : \(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{2}{b^2+3ab}=\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\)
Theo BĐT Cô - Si dưới dạng engel ta có :
\(\dfrac{1}{3a^2+b^2}+\dfrac{4}{2b^2+6ab}\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{3a^2+6ab+3b^2}=\dfrac{9}{3\left(a+b\right)^2}=\dfrac{9}{3.1}=3\)
Dấu \("="\) xảy ra khi : \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
TN
22 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)
Khi đó \(\frac{1}{4x^2+y^2+z^2}=\frac{1}{3x^2+x^2+y^2+z^2}\le\frac{1}{3x^2+3}\)
Viết lại BĐT cần chứng minh như sau:
\(\frac{1}{3x^2+3}+\frac{1}{3y^2+3}+\frac{1}{3z^2+3}\le\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\le\frac{3}{2}\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{1}{x^2+1}\le-\frac{1}{2}x+1\)
\(\Leftrightarrow-\frac{x\left(x-1\right)^2}{2\left(x^2+1\right)}\ge0\) *luôn đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\frac{1}{y^2+1}\le-\frac{1}{2}y+1;\frac{1}{z^2+1}\le-\frac{1}{2}z+1\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\le-\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)+3=-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2}=VP\)
Xảy ra khi x=y=z=1
22 tháng 7 2017
Cho mih hỏi bđt phụ đó là sao, có thể CM giùm mih đc hok
A
1
11 tháng 9 2018
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki vào bài toán , ta có :
\(\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4x+4y+4z+3\right)=3.7=21\)
\(\Rightarrow\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le\sqrt{21}\)
Đẳng thức xảy ra khi : \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
N
28 tháng 5 2017
\(\sum\dfrac{x^4y}{x^2+1}=\sum\dfrac{x^3.\dfrac{1}{z}}{x^2+xyz}=\sum\dfrac{x^2}{z\left(x+yz\right)}=\sum\dfrac{x^2}{xz+1}\)
Áp dụng bất đẳng thức cauchy-schwarz:
\(Vt=\sum\dfrac{x^2}{xz+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{xy+yz+xz+3}\)
mà theo AM-GM: \(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\)
hay \(3\le xy+yz+xz\)
do đó \(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\dfrac{3\left(xy+yz+zx\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
P/s: Câu này khoai
DP
1
28 tháng 3 2019
\(A=\sum\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}\)
\(Max_A=+\infty\)
\("="x=y=z=+\infty\)
DT
9 tháng 2 2018
\(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz:
\(\dfrac{1}{4x+3y+z}\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
CMTT\(\Rightarrow\) \(M\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{8}{y}+\dfrac{8}{z}\right)=\dfrac{1}{8}\)
Dấu''=" xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=3\)
đề ẩu thế.... Có lẽ là căn 21
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2=\left(\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\right)^2\)
\(\le\left(1+1+1\right)\left(4\left(x+y+z\right)+3\right)\)
\(=3\cdot\left(4\cdot1+3\right)=21\)
\(\Rightarrow VT^2\le21\Rightarrow VT\le\sqrt{21}\)
Khi \(x=y=z=\frac{1}{3}>-\frac{1}{4}\)