K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DT
2
Q
25 tháng 6 2016
→Tìm max:
Ta có bđt sau với mọi x,y: xy ≤ (x² + y²)/2 (đẳng thức xảy ra khi x = y)
kết hợp với giả thiết: x² + y² = 4 + xy ≤ 4 + (x² + y²)/2
=> P ≤ 4 + P/2
<=> P ≤ 8
Max P = 8 xảy ra khi x = y và x² + y² - xy = 4 <=> x = y = 2 hoặc x = y = - 2 •
→ Tìm min:
P = x² + y² = 4 + xy
+ Nếu xy ≥ 0 thì P ≥ 4
+ Nếu xy < 0: không mất tính tổng quát giả sử x > 0; y < 0
để tiện cho việc cm, đặt y = - z với z > 0
Ta có: P/4 = (x² + y²)/4 = (x² + y²)/(x² + y² - xy)
= 1 + xy/(x² + y² + xy) = 1 - zx/(x² + z² + zx)
mặt khác:
x² + z² ≥ 2zx
=> x² + z² + zx ≥ 3zx
=> zx/(x² + z² + zx) ≤ 1/3 (vì zx > 0)
=> P/4 = 1 - zx/(x² + z² + zx) ≥ 1 - 1/3 = 2/3
=> P ≥ 8/3
Min P = 8/3 xảy ra khi z = x = - y; x² + y² - xy = 4 <=> x = 2/√3; y = -2/√3 hoặc x = -2/√3; y = 2/√3
N
15 tháng 12 2018
#Max: Giả sử z=max{x, y, z} \(\Rightarrow z\ge2\). Ta chứng minh BĐT sau:
\(x^2+y^2+z^2+xyz\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}+z^2+\dfrac{\left(x+y\right)^2z}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)^2}{4}\left(z-2\right)\ge0\) ( đúng ) (*)
Do đó \(VT\le\dfrac{\left(6-z\right)^2}{2}+z^2+\dfrac{z\left(6-z\right)^2}{4}=f\left(z\right)\) với \(z\in\left[2;3\right]\)
\(f'\left(z\right)=\left(6-z\right).\left(-1\right)+2z+\dfrac{1}{4}.\left[\left(6-z\right)^2+z.2\left(z-6\right)\right]\)
\(=\dfrac{3}{4}z^2-3z+3=\dfrac{3}{4}\left(z-2\right)^2\ge0\).Suy ra \(f\left(z\right)\le f\left(3\right)=\dfrac{81}{4}\)
Dấu = đạt được tại \(x=y=\dfrac{3}{2},z=3\) và các hoán vị
#Min: Để ý (*), ta giả sử z=Min{x, y, z} thì \(z\le2\). Do đó ta lại có
\(VT\ge f\left(z\right)\) với \(z\in\left[0;2\right]\). Vì f(z) vẫn đồng biến / R nên min sẽ đạt được tại z=0 và bằng 18
Dấu = đạt được tại x=y=3, z=0 và các hoán vị
25 tháng 12 2017
Trong de thi hsg cap Thanh pho Ha Noi 2016-2017 co dap an do ban
TM
30 tháng 5 2017
\(M^2=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2xy}{\sqrt{yz}}+\frac{2yz}{\sqrt{zx}}+\frac{2xz}{\sqrt{yz}}=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}+\frac{2x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}\)
Áp dụng bđt Cô-si: \(\frac{x^2}{y}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}+z\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2}{y}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}}.z}=4x\)
tương tự \(\frac{y^2}{z}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+\frac{y\sqrt{z}}{\sqrt{x}}+x\ge4y\);\(\frac{z^2}{x}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{z\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+y\ge4z\)
=>\(M^2+x+y+z\ge4\left(x+y+z\right)\Rightarrow M^2\ge3\left(x+y+z\right)\ge3.12=36\Rightarrow M\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=4
Vậy minM=6 khi x=y=z=4
HP
12 tháng 8 2016
a, Từ x+y=1
=>x=1-y
Ta có: \(x^3+y^3=\left(1-y\right)^3+y^3=1-3y+3y^2-y^3+y^3\)
\(=3y^2-3y+1=3\left(y^2-y+\frac{1}{3}\right)=3\left(y^2-2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)\)
\(=3\left[\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{12}\right]=3\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\) với mọi y
=>GTNN của x3+y3 là 1/4
Dấu "=" xảy ra \(< =>\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0< =>y=\frac{1}{2}< =>x=y=\frac{1}{2}\) (vì x=1-y)
Vậy .......................................
b) Ta có: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{y+x}\)
\(=\left(\frac{x^2}{y+z}+x\right)+\left(\frac{y^2}{z+x}+y\right)+\left(\frac{z^2}{y+z}+z\right)-\left(x+y+z\right)\)
\(=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{z+x}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{y+z}-\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\)
Đặt \(A=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}\)
\(A=\left(\frac{x}{y+z}+1\right)+\left(\frac{y}{z+x}+1\right)+\left(\frac{z}{y+x}+1\right)-3\)
\(=\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}+\frac{x+y+z}{y+x}-3\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+x}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)\right]\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)-3\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
(phần này nhân phá ngoặc rồi dùng biến đổi tương đương)
\(=>P=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}-1\right)\ge2\left(\frac{3}{2}-1\right)=1\)
=>minP=1
Dấu "=" xảy ra <=>x=y=z
Vậy.....................
\(z^2=\left(x+y\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{z^2}{2}\)
Min= \(\frac{z^2}{2}\) khi x=y=x/2
Nhật Minh:x=y=x/2 là sao?